微积分学示例

$y = 0$ , $x = 2$ , $y = \sqrt{x}$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = \sqrt{x}$ 时， $V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$V = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$V = x^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$V = x^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$V = x$

解题步骤 2.5

化简。

$V = x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$V = π (2 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (2 - \frac{0}{2})$

解题步骤 4.2.2.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (2 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 4.2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.4.2.2

约去公因数。

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.4.2.3

重写表达式。

$V = π (2 - \frac{0}{1})$

解题步骤 4.2.2.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (2 - 0)$

解题步骤 4.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (2 + 0)$

解题步骤 4.2.2.6

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$V = π \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.7

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = 2 π$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = 2 π$

小数形式：

$V = 6.28318530 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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