微积分学示例

$y = x + 2$ , $y = x^{2}$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = x + 2$ 和 $g (x) = x^{2}$ 时， $V = π \int_{- 1}^{2} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$V = (x + 2) (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$V = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$V = x^{2} + 4 x + 4 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.4

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = x^{2} + 4 x + 4 - x^{4}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

解题步骤 6

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

解题步骤 10

组合 $\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}$ 和 $4 x]_{- 1}^{2}$ 。

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{4} d x)$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{2}))$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

解题步骤 13.2

代入并化简。

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解题步骤 13.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

解题步骤 13.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3} + 4 x$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

解题步骤 13.2.3

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4

化简。

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解题步骤 13.2.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (4 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.2.2.2

约去公因数。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.2.2.3

重写表达式。

$V = π (4 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$V = π (4 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (4 (2 - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.4

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.5

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.6

在公分母上合并分子。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.7

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.7.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = π (4 (\frac{4 - 1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.7.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$V = π (4 (\frac{3}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.8

组合 $4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$V = π (\frac{4 \cdot 3}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.9

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{12}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.10

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.10.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.10.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.10.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{6}{1} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.10.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$V = π (6 + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.11

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.12

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 8 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.13

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.14

组合 $8$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (6 + \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.15

在公分母上合并分子。

$V = π (6 + \frac{8 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.16

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.16.1

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$V = π (6 + \frac{8 + 24}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.16.2

将 $8$ 和 $24$ 相加。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.17

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (\frac{- 1}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.18

将负号移到分数的前面。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.19

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} - 4) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.20

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.21

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.22

在公分母上合并分子。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 1 - 4 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.23

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.23.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 1 - 12}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.23.2

从 $- 1$ 中减去 $12$ 。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.24

将负号移到分数的前面。

$V = π (6 + \frac{32}{3} + \frac{13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.25

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (6 + \frac{32}{3} + 1 (\frac{13}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.26

将 $\frac{13}{3}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (6 + \frac{32}{3} + \frac{13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.27

在公分母上合并分子。

$V = π (6 + \frac{32 + 13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.28

将 $32$ 和 $13$ 相加。

$V = π (6 + \frac{45}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.29

约去 $45$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.29.1

从 $45$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.29.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.4.29.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3 (1)} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.29.2.2

约去公因数。

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot 1} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.29.2.3

重写表达式。

$V = π (6 + \frac{15}{1} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.29.2.4

用 $15$ 除以 $1$ 。

$V = π (6 + 15 - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.30

将 $6$ 和 $15$ 相加。

$V = π (21 - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.31

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.4.32

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} - \frac{- 1}{5}))$

解题步骤 13.2.4.33

将负号移到分数的前面。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + \frac{1}{5}))$

解题步骤 13.2.4.34

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

解题步骤 13.2.4.35

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + \frac{1}{5}))$

解题步骤 13.2.4.36

在公分母上合并分子。

$V = π (21 - \frac{32 + 1}{5})$

解题步骤 13.2.4.37

将 $32$ 和 $1$ 相加。

$V = π (21 - \frac{33}{5})$

解题步骤 13.2.4.38

要将 $21$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (21 \cdot \frac{5}{5} - \frac{33}{5})$

解题步骤 13.2.4.39

组合 $21$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{21 \cdot 5}{5} - \frac{33}{5})$

解题步骤 13.2.4.40

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{21 \cdot 5 - 33}{5})$

解题步骤 13.2.4.41

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.41.1

将 $21$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{105 - 33}{5})$

解题步骤 13.2.4.41.2

从 $105$ 中减去 $33$ 。

$V = π (\frac{72}{5})$

解题步骤 13.2.4.42

组合 $π$ 和 $\frac{72}{5}$ 。

$V = \frac{π \cdot 72}{5}$

解题步骤 13.2.4.43

将 $72$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{72 π}{5}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{72 π}{5}$

小数形式：

$V = 45.23893421 \dots$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例