微积分学示例

$y = x$ , $y = 0$ , $x = 2$ , $x = 4$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = x$ 时， $V = π \int_{2}^{4} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

去掉圆括号。

$V = x^{2}$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π \frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π \frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$V = π ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{8}{3})$

解题步骤 4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{64 - 8}{3})$

解题步骤 4.2.2.4

从 $64$ 中减去 $8$ 。

$V = π (\frac{56}{3})$

解题步骤 4.2.2.5

组合 $π$ 和 $\frac{56}{3}$ 。

$V = \frac{π \cdot 56}{3}$

解题步骤 4.2.2.6

将 $56$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{56 π}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{56 π}{3}$

小数形式：

$V = 58.64306286 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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