微积分学示例

$y = x$ ,

$y = 0$ ,

$x = 2$ ,

$x = 4$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为

$f (x)$ 和

$A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当

$f (x) = x$ 时，

$V = π \int_{2}^{4} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

去掉圆括号。

$V = x^{2}$

解题步骤 3

根据幂法则，

$x^{2}$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π \frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合

$\frac{1}{3}$ 和

$x^{3}$ 。

$V = π \frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算

$\frac{x^{3}}{3}$ 在

$4$ 处和在

$2$ 处的值。

$V = π ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对

$4$ 进行

$3$ 次方运算。

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

对

$2$ 进行

$3$ 次方运算。

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{8}{3})$

解题步骤 4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{64 - 8}{3})$

解题步骤 4.2.2.4

从

$64$ 中减去

$8$ 。

$V = π (\frac{56}{3})$

解题步骤 4.2.2.5

组合

$π$ 和

$\frac{56}{3}$ 。

$V = \frac{π \cdot 56}{3}$

解题步骤 4.2.2.6

将

$56$ 移到

$π$ 的左侧。

$V = \frac{56 π}{3}$

$V = \frac{56 π}{3}$

$V = \frac{56 π}{3}$

$V = \frac{56 π}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{56 π}{3}$

小数形式：

$V = 58.64306286 \dots$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$