微积分学示例

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = 4 x$ 和 $g (x) = x^{2}$ 时， $V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

解题步骤 4

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.3.2.2

约去公因数。

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.3.2.3

重写表达式。

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.5

将 $\frac{64}{3}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.6

组合 $16$ 和 $\frac{64}{3}$ 。

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.7

将 $16$ 乘以 $64$ 。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.8

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

解题步骤 9.2.3.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

解题步骤 9.2.3.10

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

解题步骤 9.2.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.10.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.3.10.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.3.10.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 9.2.3.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

解题步骤 9.2.3.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

解题步骤 9.2.3.12

将 $\frac{1024}{5}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

解题步骤 9.2.3.13

要将 $\frac{1024}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

解题步骤 9.2.3.14

要将 $- \frac{1024}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 9.2.3.15

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 9.2.3.15.1

将 $\frac{1024}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 9.2.3.15.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 9.2.3.15.3

将 $\frac{1024}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

解题步骤 9.2.3.15.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

解题步骤 9.2.3.16

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

解题步骤 9.2.3.17

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.17.1

将 $1024$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

解题步骤 9.2.3.17.2

将 $- 1024$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

解题步骤 9.2.3.17.3

从 $5120$ 中减去 $3072$ 。

$V = π (\frac{2048}{15})$

解题步骤 9.2.3.18

组合 $π$ 和 $\frac{2048}{15}$ 。

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

解题步骤 9.2.3.19

将 $2048$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{2048 π}{15}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{2048 π}{15}$

小数形式：

$V = 428.93211697 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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