微积分学示例

$y = {(x - 2)}^{2}$ , $y = x$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = x$ 和 $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ 时， $V = π \int_{1}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ 。

$V = x^{2} - ((x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4))$

解题步骤 2.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ 。

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = x^{2} - (x^{2 + 2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$V = x^{2} - (x^{4} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1

移动 $x$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.4

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 1} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.6

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot (- 4 x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.7.1

移动 $x$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot (- 4 x^{2}) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.8

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.9

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.10

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.3.11

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16)$

解题步骤 2.1.4

从 $- 4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16)$

解题步骤 2.1.5

将 $4 x^{2}$ 和 $16 x^{2}$ 相加。

$V = x^{2} - (x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16)$

解题步骤 2.1.6

将 $20 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$V = x^{2} - (x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 16 x - 16 x + 16)$

解题步骤 2.1.7

从 $- 16 x$ 中减去 $16 x$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16)$

解题步骤 2.1.8

运用分配律。

$V = x^{2} - x^{4} - (- 8 x^{3}) - (24 x^{2}) - (- 32 x) - 1 \cdot 16$

解题步骤 2.1.9

化简。

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解题步骤 2.1.9.1

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} - x^{4} + 8 x^{3} - (24 x^{2}) - (- 32 x) - 1 \cdot 16$

解题步骤 2.1.9.2

将 $24$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} - x^{4} + 8 x^{3} - 24 x^{2} - (- 32 x) - 1 \cdot 16$

解题步骤 2.1.9.3

将 $- 32$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} - x^{4} + 8 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x - 1 \cdot 16$

解题步骤 2.1.9.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$V = x^{2} - x^{4} + 8 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x - 16$

解题步骤 2.2

从 $x^{2}$ 中减去 $24 x^{2}$ 。

$V = - x^{4} + 8 x^{3} - 23 x^{2} + 32 x - 16$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{1}^{4} - x^{4} d x + \int_{1}^{4} 8 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 23 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V = π (- \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} 8 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 23 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (- (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 8 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 23 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 8 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 23 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 7

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 23 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 23 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 23 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 10

由于 $- 23$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 23$ 移到积分外。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 23 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 23 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 23 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 32 x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 13

由于 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $32$ 移到积分外。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 23 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 32 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 14

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 23 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 32 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 23 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 32 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 16 d x)$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{4}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 23 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 32 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + - 16 x]_{1}^{4})$

解题步骤 17

代入并化简。

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解题步骤 17.1

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π (- ((\frac{4^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}) + 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 23 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 32 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + - 16 x]_{1}^{4})$

解题步骤 17.2

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π (- (\frac{4^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + 8 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 32 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + - 16 x]_{1}^{4})$

解题步骤 17.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π (- (\frac{4^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + 8 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + - 16 x]_{1}^{4})$

解题步骤 17.4

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π (- (\frac{4^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + 8 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 16 x]_{1}^{4})$

解题步骤 17.5

计算 $- 16 x$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π (- (\frac{4^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + 8 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6

化简。

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解题步骤 17.6.1

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (- (\frac{1024}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + 8 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.2

一的任意次幂都为一。

$V = π (- (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + 8 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.3

在公分母上合并分子。

$V = π (- \frac{1024 - 1}{5} + 8 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.4

从 $1024$ 中减去 $1$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.5

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.6

约去 $256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.6.6.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.6.2

约去公因数。

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解题步骤 17.6.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.6.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.6.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.6.2.4

用 $64$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.7

一的任意次幂都为一。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (64 - \frac{1}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.8

要将 $64$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.9

组合 $64$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.10

在公分母上合并分子。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{64 \cdot 4 - 1}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.11

化简分子。

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解题步骤 17.6.11.1

将 $64$ 乘以 $4$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{256 - 1}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.11.2

从 $256$ 中减去 $1$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 8 (\frac{255}{4}) - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.12

组合 $8$ 和 $\frac{255}{4}$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + \frac{8 \cdot 255}{4} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.13

将 $8$ 乘以 $255$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + \frac{2040}{4} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.14

约去 $2040$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.6.14.1

从 $2040$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + \frac{4 \cdot 510}{4} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.14.2

约去公因数。

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解题步骤 17.6.14.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + \frac{4 \cdot 510}{4 (1)} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.14.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{1023}{5} + \frac{4 \cdot 510}{4 \cdot 1} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.14.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{1023}{5} + \frac{510}{1} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.14.2.4

用 $510$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 510 - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.15

要将 $510$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + 510 \cdot \frac{5}{5} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.16

组合 $510$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{1023}{5} + \frac{510 \cdot 5}{5} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.17

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 1023 + 510 \cdot 5}{5} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.18

化简分子。

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解题步骤 17.6.18.1

将 $510$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{- 1023 + 2550}{5} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.18.2

将 $- 1023$ 和 $2550$ 相加。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.19

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.20

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.21

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 \frac{64 - 1}{3} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.22

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 (\frac{63}{3}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.23

约去 $63$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 17.6.23.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 \frac{3 \cdot 21}{3} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.23.2

约去公因数。

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解题步骤 17.6.23.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.23.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.23.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 (\frac{21}{1}) + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.23.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{1527}{5} - 23 \cdot 21 + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.24

将 $- 23$ 乘以 $21$ 。

$V = π (\frac{1527}{5} - 483 + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.25

要将 $- 483$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{1527}{5} - 483 \cdot \frac{5}{5} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.26

组合 $- 483$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{1527}{5} + \frac{- 483 \cdot 5}{5} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.27

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{1527 - 483 \cdot 5}{5} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.28

化简分子。

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解题步骤 17.6.28.1

将 $- 483$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{1527 - 2415}{5} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.28.2

从 $1527$ 中减去 $2415$ 。

$V = π (\frac{- 888}{5} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.29

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.30

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.31

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.6.31.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.31.2

约去公因数。

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解题步骤 17.6.31.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.31.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.31.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.31.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.32

一的任意次幂都为一。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (8 - \frac{1}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.33

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.34

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.35

在公分母上合并分子。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{8 \cdot 2 - 1}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.36

化简分子。

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解题步骤 17.6.36.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{16 - 1}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.36.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 32 (\frac{15}{2}) - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.37

组合 $32$ 和 $\frac{15}{2}$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + \frac{32 \cdot 15}{2} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.38

将 $32$ 乘以 $15$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + \frac{480}{2} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.39

约去 $480$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.6.39.1

从 $480$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + \frac{2 \cdot 240}{2} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.39.2

约去公因数。

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解题步骤 17.6.39.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + \frac{2 \cdot 240}{2 (1)} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.39.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{888}{5} + \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot 1} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.39.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{888}{5} + \frac{240}{1} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.39.2.4

用 $240$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 240 - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.40

要将 $240$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + 240 \cdot \frac{5}{5} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.41

组合 $240$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{888}{5} + \frac{240 \cdot 5}{5} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.42

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 888 + 240 \cdot 5}{5} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.43

化简分子。

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解题步骤 17.6.43.1

将 $240$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{- 888 + 1200}{5} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.43.2

将 $- 888$ 和 $1200$ 相加。

$V = π (\frac{312}{5} - 16 \cdot 4 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.44

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$V = π (\frac{312}{5} - 64 + 16 \cdot 1)$

解题步骤 17.6.45

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{312}{5} - 64 + 16)$

解题步骤 17.6.46

将 $- 64$ 和 $16$ 相加。

$V = π (\frac{312}{5} - 48)$

解题步骤 17.6.47

要将 $- 48$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{312}{5} - 48 \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 17.6.48

组合 $- 48$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{312}{5} + \frac{- 48 \cdot 5}{5})$

解题步骤 17.6.49

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{312 - 48 \cdot 5}{5})$

解题步骤 17.6.50

化简分子。

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解题步骤 17.6.50.1

将 $- 48$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{312 - 240}{5})$

解题步骤 17.6.50.2

从 $312$ 中减去 $240$ 。

$V = π (\frac{72}{5})$

解题步骤 17.6.51

组合 $π$ 和 $\frac{72}{5}$ 。

$V = \frac{π \cdot 72}{5}$

解题步骤 17.6.52

将 $72$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{72 π}{5}$

解题步骤 18

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{72 π}{5}$

小数形式：

$V = 45.23893421 \dots$

解题步骤 19

微积分学 示例

微积分学示例