微积分学示例

$x = y^{\frac{1}{3}}$ , $x = 0$ , $y = 64$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = 64$ 和 $g (x) = x^{3}$ 时， $V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

对 $64$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = 4096 - {(x^{3})}^{2}$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = 4096 - x^{3 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$V = 4096 - x^{6}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{4} 4096 d x + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$V = π (4096 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x^{6} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{4}))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{7}$ 。

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $4096 x$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π ((4096 \cdot 4) - 4096 \cdot 0 - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{x^{7}}{7}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (4096 \cdot 4 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $4096$ 乘以 $4$ 。

$V = π (16384 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 7.2.3.2

将 $- 4096$ 乘以 $0$ 。

$V = π (16384 + 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 7.2.3.3

将 $16384$ 和 $0$ 相加。

$V = π (16384 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 7.2.3.4

对 $4$ 进行 $7$ 次方运算。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 7.2.3.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{7}))$

解题步骤 7.2.3.6

约去 $0$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.6.1

从 $0$ 中分解出因数 $7$ 。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 (0)}{7}))$

解题步骤 7.2.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.6.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

解题步骤 7.2.3.6.2.2

约去公因数。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

解题步骤 7.2.3.6.2.3

重写表达式。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 7.2.3.6.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - 0))$

解题步骤 7.2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} + 0))$

解题步骤 7.2.3.8

将 $\frac{16384}{7}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (16384 - \frac{16384}{7})$

解题步骤 7.2.3.9

要将 $16384$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$V = π (16384 \cdot \frac{7}{7} - \frac{16384}{7})$

解题步骤 7.2.3.10

组合 $16384$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$V = π (\frac{16384 \cdot 7}{7} - \frac{16384}{7})$

解题步骤 7.2.3.11

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{16384 \cdot 7 - 16384}{7})$

解题步骤 7.2.3.12

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.12.1

将 $16384$ 乘以 $7$ 。

$V = π (\frac{114688 - 16384}{7})$

解题步骤 7.2.3.12.2

从 $114688$ 中减去 $16384$ 。

$V = π (\frac{98304}{7})$

解题步骤 7.2.3.13

组合 $π$ 和 $\frac{98304}{7}$ 。

$V = \frac{π \cdot 98304}{7}$

解题步骤 7.2.3.14

将 $98304$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{98304 π}{7}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{98304 π}{7}$

小数形式：

$V = 44118.73203121 \dots$

解题步骤 9

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