微积分学示例

y = sin (x)

$y = \sin (x)$ ,

x = 0

$x = 0$ ,

x = π

$x = π$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

解题步骤 1.2

求解

x

$x$ 的

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 1.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

π

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = π - 0

$x = π - 0$

解题步骤 1.2.4

从

π

$π$ 中减去

0

$0$ 。

x = π

$x = π$

解题步骤 1.2.5

求

sin (x)

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 1.2.6

sin (x)

$\sin (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 1.2.7

合并答案。

x = π n

$x = π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = π n

$x = π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 1.3

代入

π n

$π n$ 替换

x

$x$ 。

y = 0

$y = 0$

解题步骤 1.4

列出所有解。

y = 0, x = π n

$y = 0, x = π n$

y = 0, x = π n

$y = 0, x = π n$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

A r e a = \int_{0}^{π} sin (x) d x - \int_{0}^{π} 0 d x

$A r e a = \int_{0}^{π} \sin (x) d x - \int_{0}^{π} 0 d x$

解题步骤 3

用积分求

0

$0$ 和

π

$π$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

\int_{0}^{π} sin (x) - (0) d x

$\int_{0}^{π} \sin (x) - (0) d x$

解题步骤 3.2

从

sin (x)

$\sin (x)$ 中减去

0

$0$ 。

\int_{0}^{π} sin (x) d x

$\int_{0}^{π} \sin (x) d x$

解题步骤 3.3

sin (x)

$\sin (x)$ 对

x

$x$ 的积分为

- cos (x)

$- \cos (x)$ 。

- cos (x)]_{0}^{π}

$- \cos (x)]_{0}^{π}$

解题步骤 3.4

化简答案。

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解题步骤 3.4.1

计算

- cos (x)

$- \cos (x)$ 在

π

$π$ 处和在

0

$0$ 处的值。

- cos (π) + cos (0)

$- \cos (π) + \cos (0)$

解题步骤 3.4.2

cos (0)

$\cos (0)$ 的准确值为

1

$1$ 。

- cos (π) + 1

$- \cos (π) + 1$

解题步骤 3.4.3

化简。

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解题步骤 3.4.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

- - cos (0) + 1

$- - \cos (0) + 1$

解题步骤 3.4.3.2

cos (0)

$\cos (0)$ 的准确值为

1

$1$ 。

- (- 1 \cdot 1) + 1

$- (- 1 \cdot 1) + 1$

解题步骤 3.4.3.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

- - 1 + 1

$- - 1 + 1$

解题步骤 3.4.3.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

1 + 1

$1 + 1$

解题步骤 3.4.3.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

2

$2$

2

$2$

2

$2$

2

$2$

解题步骤 4

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x^{2} & \frac{1}{2} \sqrt{π} & \int x d x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$