微积分学示例

$4 y^{2} - \sqrt{x} = 12$ , $(16, 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 16$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 12$

解题步骤 1.2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (12)$

解题步骤 1.3

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.3.3.5

在公分母上合并分子。

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.3.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.3.3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$8 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.4

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$8 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 1.6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.6.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.6.2

将 $8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项除以 $8 y$ 并化简。

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解题步骤 1.6.2.1

将 $8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项都除以 $8 y$ 。

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

解题步骤 1.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.6.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

解题步骤 1.6.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

解题步骤 1.6.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

解题步骤 1.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.6.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 y}$

解题步骤 1.6.2.3.2

合并。

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (8 y)}$

解题步骤 1.6.2.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.6.2.3.3.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 y}$

解题步骤 1.6.2.3.3.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$y' = \frac{1}{16 x^{\frac{1}{2}} y}$

解题步骤 1.6.2.3.3.3

将 $\frac{1}{16 x^{\frac{1}{2}} y}$ 中的因式重新排序。

$y' = \frac{1}{16 y x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{16 y x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8

计算 $x = 16$ 和 $y = 2$ 处的值。

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解题步骤 1.8.1

使用表达式中的 $16$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{1}{16 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8.2

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{1}{16 (2) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8.3

通过指数相加将 $16$ 乘以 ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.8.3.1

移动 ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{2}} \cdot 16 \cdot 2}$

解题步骤 1.8.3.2

将 ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $16$ 。

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解题步骤 1.8.3.2.1

对 $16$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{1} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{16^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{16^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{16^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.3.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.4

化简分母。

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解题步骤 1.8.4.1

将 $16$ 重写为 $2^{4}$ 。

$\frac{1}{{(2^{4})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.4.2

将 ${(2^{4})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.8.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2^{4 (\frac{3}{2})} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2^{2 (2) \frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2^{2 \cdot 2 \frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2^{2 \cdot 3} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.4.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2^{6} \cdot 2}$

解题步骤 1.8.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2^{6 + 1}}$

解题步骤 1.8.4.4

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2^{7}}$

解题步骤 1.8.5

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{1}{128}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{128}$ 和给定点 $(16, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{128}$ 和 $x$ 。

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

从 $128$ 中分解出因数 $16$ 。

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $16$ 。

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.6

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $- 1$ 。

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

解题步骤 2.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$y - 2 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 2$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 2 \cdot 8}{8}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 16}{8}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $- 1$ 和 $16$ 相加。

$y = \frac{x}{128} + \frac{15}{8}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{128} x + \frac{15}{8}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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