微积分学示例

$y = \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ , $(1, 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 4$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8 x}{x^{2} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.9

组合 $8$ 和 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

运用分配律。

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.10.2.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.11

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{- 8 {(1)}^{2} + 8}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

化简分子。

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解题步骤 1.12.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 8 \cdot 1 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 8 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.3

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$\frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2

化简分母。

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解题步骤 1.12.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{2^{2}}$

解题步骤 1.12.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{4}$

解题步骤 1.12.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$0$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(1, 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (4) = 0 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 4 = 0 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 乘以 $x - 1$ 。

$y - 4 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 3

微积分学 示例

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