微积分学示例

$y = \sqrt{7 x}$ , $(7, 7)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 7$ 和 $y = 7$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 x}$ 重写成 ${(7 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(7 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{d}{d x} [{(7 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.3

对 $7 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $7^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$7^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.10

组合 $7^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{7^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.12

计算在 $x = 7$ 处的导数。

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 {(7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13

化简。

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解题步骤 1.13.1

约去公因数。

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 {(7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.2

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{2}$ 和给定点 $(7, 7)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (7) = \frac{1}{2} \cdot (x - (7))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{2} \cdot (x - 7)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 7 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 7$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 7$

解题步骤 2.3.1.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 7$ 。

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 7 = \frac{x}{2} - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $7$ 。

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 7$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 14}{2}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $- 7$ 和 $14$ 相加。

$y = \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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