微积分学示例

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 8$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ 重写为 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ 。

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x) + \cos (x)$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\sin (x) + \cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

解题步骤 1.3

使用求加法法则求导。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

合并项。

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解题步骤 1.7.1.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ 。

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.7.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.7.2

重新排序 $- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ 的因式。

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 1.8

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

解题步骤 1.9

化简。

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解题步骤 1.9.1

化简分母。

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解题步骤 1.9.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

解题步骤 1.9.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.9.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

解题步骤 1.9.1.4

一的任意次幂都为一。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

解题步骤 1.9.2

化简项。

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解题步骤 1.9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.2.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

解题步骤 1.9.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

解题步骤 1.9.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

解题步骤 1.9.2.2

化简表达式。

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解题步骤 1.9.2.2.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

解题步骤 1.9.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 (\frac{8}{1})$

解题步骤 1.9.2.2.3

用 $8$ 除以 $1$ 。

$- 1 \cdot 8$

解题步骤 1.9.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 8$ 和给定点 $(0, 8)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 8 = - 8 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = - 8 x + 8$

解题步骤 3

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