微积分学示例

$y = \sqrt{2 x}$ , $(32, 8)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 32$ 和 $y = 8$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.3

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.10

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.11

化简表达式。

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解题步骤 1.11.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.12

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.12.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.12.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.12.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.12.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13

计算在 $x = 32$ 处的导数。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(32)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14

化简。

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解题步骤 1.14.1

化简分母。

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解题步骤 1.14.1.1

将 $32$ 重写为 $2^{5}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14.1.2

将 ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.14.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{5 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.14.1.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 1.14.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}}$

解题步骤 1.14.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 5}{2}}}$

解题步骤 1.14.1.5

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{1}{2^{\frac{6}{2}}}$

解题步骤 1.14.1.6

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.14.1.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}$

解题步骤 1.14.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.14.1.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}$

解题步骤 1.14.1.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}$

解题步骤 1.14.1.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2^{\frac{3}{1}}}$

解题步骤 1.14.1.6.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2^{3}}$

解题步骤 1.14.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{8}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{8}$ 和给定点 $(32, 8)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (8) = \frac{1}{8} \cdot (x - (32))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{8} \cdot (x - 32)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 8 = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 32$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $x$ 。

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 32$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

从 $- 32$ 中分解出因数 $8$ 。

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 (- 4))$

解题步骤 2.3.1.5.2

约去公因数。

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 4)$

解题步骤 2.3.1.5.3

重写表达式。

$y - 8 = \frac{x}{8} - 4$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = \frac{x}{8} - 4 + 8$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 4$ 和 $8$ 相加。

$y = \frac{x}{8} + 4$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{8} x + 4$

解题步骤 3

微积分学 示例

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