微积分学示例

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 6$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.3.3

将 ${(2 x - 5)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

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解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 5$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.4.3

使用 $2 x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2

从 ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ 中分解出因数 $2 x - 5$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 ${(2 x - 5)}^{2}$ 中分解出因数 $2 x - 5$ 。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ 中分解出因数 $2 x - 5$ 。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2.3

从 $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ 中分解出因数 $2 x - 5$ 。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.6

约去公因数。

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解题步骤 1.6.1

从 ${(2 x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $2 x - 5$ 。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.6.2

约去公因数。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3

重写表达式。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.7

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.11

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.12

化简项。

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解题步骤 1.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.12.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.12.3

从 $2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.12.4

组合 $3$ 和 $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ 。

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13

化简。

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解题步骤 1.13.1

运用分配律。

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.2

化简每一项。

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解题步骤 1.13.2.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.2.2

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.3

从 $- 6 x - 15$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.13.3.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.3.2

从 $- 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.3.3

从 $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.5

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.6

从 $- (2 x) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.7

将 $- (2 x + 5)$ 重写为 $- 1 (2 x + 5)$ 。

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.13.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.14

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.15

化简。

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解题步骤 1.15.1

化简分子。

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解题步骤 1.15.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.15.1.2

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.15.2

化简分母。

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解题步骤 1.15.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.15.2.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 1.15.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

解题步骤 1.15.3

化简表达式。

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解题步骤 1.15.3.1

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{27}{- 1}$

解题步骤 1.15.3.2

用 $27$ 除以 $- 1$ 。

$- - 27$

解题步骤 1.15.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 27$ 。

$27$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $27$ 和给定点 $(2, 6)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $27 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

将 $27$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 6 = 27 x - 54$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = 27 x - 54 + 6$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 54$ 和 $6$ 相加。

$y = 27 x - 48$

解题步骤 3

微积分学 示例

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