微积分学示例

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 1$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 移到 $x + 2$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10

化简表达式。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

合并 $2 x + 4 - 2 x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分母。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{9}$

解题步骤 1.5.2

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{9}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{3}$ 和给定点 $(1, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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