微积分学示例

$y = {(1 + 5 x)}^{15}$ , $(0, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{15}$ 且 $g (x) = 1 + 5 x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + 5 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 15$ 。

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $1 + 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 相加。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.2.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.5

将 $5$ 乘以 $15$ 。

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \cdot 1$

解题步骤 1.2.7

将 $75$ 乘以 $1$ 。

$75 {(1 + 5 x)}^{14}$

解题步骤 1.3

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$75 {(1 + 5 (0))}^{14}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$75 {(1 + 0)}^{14}$

解题步骤 1.4.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$75 \cdot 1^{14}$

解题步骤 1.4.3

一的任意次幂都为一。

$75 \cdot 1$

解题步骤 1.4.4

将 $75$ 乘以 $1$ 。

$75$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $75$ 和给定点 $(0, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 75 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 75 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 1 = 75 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 75 x + 1$

解题步骤 3

微积分学 示例

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