微积分学示例

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 1$ 且 $g (x) = x^{2} + x + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + x + 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

根据加法法则， $x^{2} + x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

化简分子。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.5.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.5.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.5.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.6.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6.5

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.6.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.2

合并 $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.4.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.2.2

将 $2 x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.4

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

去掉圆括号。

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5.2

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5.2.4

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5.3

化简分母。

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解题步骤 1.5.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6}{3^{2}}$

解题步骤 1.5.3.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6}{9}$

解题步骤 1.5.4

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2)}{9}$

解题步骤 1.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{2}{3}$ 和给定点 $(1, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.2

化简 $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.2.3

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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