微积分学示例

$y^{2} (y^{2} - 16) = x^{2} (x^{2} - 17)$ , $(0, - 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = - 4$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 16)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 17))$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y^{2}$ 且 $g (x) = y^{2} - 16$ 。

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 16] + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

根据加法法则， $y^{2} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 16]) + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.6

将 $2 y y'$ 和 $0$ 相加。

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.7

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.1

移动 $y$ 。

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.7.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 16) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 16) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 16) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.8.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 16) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.9

将 $2$ 移到 $y^{2} - 16$ 的左侧。

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 16) y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.10

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 16) y y'$

解题步骤 1.2.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.11.1

运用分配律。

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 16) y y'$

解题步骤 1.2.11.2

运用分配律。

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 16 y) y'$

解题步骤 1.2.11.3

运用分配律。

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 16 y y'$

解题步骤 1.2.11.4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.11.4.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 16 y y'$

解题步骤 1.2.11.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 16 y y'$

解题步骤 1.2.11.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 16 y y'$

解题步骤 1.2.11.4.4

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 32 y y'$

解题步骤 1.2.11.4.5

将 $y^{3} (2 y')$ 和 $2 y^{3} y'$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.11.4.5.1

将 $y^{3}$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 32 y y'$

解题步骤 1.2.11.4.5.2

将 $2 \cdot y^{3} y'$ 和 $2 y^{3} y'$ 相加。

$4 y^{3} y' - 32 y y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 17$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 17] + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 17$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 17]$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 17]) + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 17]) + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.3

因为 $- 17$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 17$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 17) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x^{3} + (x^{2} - 17) (2 x)$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 移到 $x^{2} - 17$ 的左侧。

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 17) x$

解题步骤 1.3.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.7.1

运用分配律。

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 17) x$

解题步骤 1.3.7.2

运用分配律。

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 17 x$

解题步骤 1.3.7.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.7.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 17 x$

解题步骤 1.3.7.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 17 x$

解题步骤 1.3.7.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 17 x$

解题步骤 1.3.7.3.4

将 $2$ 乘以 $- 17$ 。

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 34 x$

解题步骤 1.3.7.3.5

将 $2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$4 x^{3} - 34 x$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 y^{3} y' - 32 y y' = 4 x^{3} - 34 x$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

从 $4 y^{3} y' - 32 y y'$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

从 $4 y^{3} y'$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

$4 y y' y^{2} - 32 y y' = 4 x^{3} - 34 x$

解题步骤 1.5.1.2

从 $- 32 y y'$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 8 = 4 x^{3} - 34 x$

解题步骤 1.5.1.3

从 $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 8$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

$4 y y' (y^{2} - 8) = 4 x^{3} - 34 x$

解题步骤 1.5.2

将 $4 y y' (y^{2} - 8) = 4 x^{3} - 34 x$ 中的每一项除以 $4 y (y^{2} - 8)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

将 $4 y y' (y^{2} - 8) = 4 x^{3} - 34 x$ 中的每一项都除以 $4 y (y^{2} - 8)$ 。

$\frac{4 y y' (y^{2} - 8)}{4 y (y^{2} - 8)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y y' (y^{2} - 8)}{4 y (y^{2} - 8)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (y^{2} - 8)}{y (y^{2} - 8)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y' (y^{2} - 8)}{y (y^{2} - 8)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (y^{2} - 8)}{y^{2} - 8} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.2.3

约去 $y^{2} - 8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (y^{2} - 8)}{y^{2} - 8} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 8)} + \frac{- 34 x}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2

约去 $- 34$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1.2.1

从 $- 34 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 8)} + \frac{2 (- 17 x)}{4 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1.2.2.1

从 $4 y (y^{2} - 8)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 8)} + \frac{2 (- 17 x)}{2 (2 y (y^{2} - 8))}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 8)} + \frac{2 (- 17 x)}{2 (2 y (y^{2} - 8))}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 8)} + \frac{- 17 x}{2 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.5.2.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 8)} - \frac{17 x}{2 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 8)} - \frac{17 x}{2 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 0$ 和 $y = - 4$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{{(0)}^{3}}{y (y^{2} - 8)} - \frac{17 (0)}{2 y (y^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{{(0)}^{3}}{(- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)} - \frac{17 (0)}{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{- 4 ({(- 4)}^{2} - 8)} - \frac{17 (0)}{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{- 4 (16 - 8)} - \frac{17 (0)}{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.2.2

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$\frac{0}{- 4 \cdot 8} - \frac{17 (0)}{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.3

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{0}{- 32} - \frac{17 (0)}{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.4

用 $0$ 除以 $- 32$ 。

$0 - \frac{17 (0)}{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.5

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.5.1

从 $17 (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 - \frac{2 (17 \cdot (0))}{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.5.2.1

从 $2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 - \frac{2 (17 \cdot (0))}{2 ((- 4) ({(- 4)}^{2} - 8))}$

解题步骤 1.7.3.5.2.2

约去公因数。

$0 - \frac{2 (17 \cdot (0))}{2 ((- 4) ({(- 4)}^{2} - 8))}$

解题步骤 1.7.3.5.2.3

重写表达式。

$0 - \frac{17 \cdot (0)}{(- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.6

约去 $0$ 和 $- 4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.6.1

从 $17 \cdot (0)$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 - \frac{4 (17 \cdot (0))}{(- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.6.2.1

从 $(- 4) ({(- 4)}^{2} - 8)$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 - \frac{4 (17 \cdot (0))}{4 (- ({(- 4)}^{2} - 8))}$

解题步骤 1.7.3.6.2.2

约去公因数。

$0 - \frac{4 (17 \cdot (0))}{4 (- ({(- 4)}^{2} - 8))}$

解题步骤 1.7.3.6.2.3

重写表达式。

$0 - \frac{17 \cdot (0)}{- ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.7

将 $17$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{0}{- ({(- 4)}^{2} - 8)}$

解题步骤 1.7.3.8

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.8.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 - \frac{0}{- (16 - 8)}$

解题步骤 1.7.3.8.2

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$0 - \frac{0}{- 1 \cdot 8}$

解题步骤 1.7.3.9

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$0 - \frac{0}{- 8}$

解题步骤 1.7.3.10

用 $0$ 除以 $- 8$ 。

$0 - 0$

解题步骤 1.7.3.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 1.7.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(0, - 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 4) = 0 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 4 = 0 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简 $0 \cdot (x + 0)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + 4 = 0 \cdot x$

解题步骤 2.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$y + 4 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例