微积分学示例

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ , $(1, 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

解题步骤 1.3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 6 x$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

解题步骤 1.5

将 $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ 中的每一项除以 $2 y$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

将 $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ 中的每一项都除以 $2 y$ 。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

解题步骤 1.5.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

解题步骤 1.5.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

解题步骤 1.5.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 1$ 和 $y = 2$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 y} + \frac{3 (1)}{y}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3 (1)}{2}$

解题步骤 1.7.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

解题步骤 1.7.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.4.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 \cdot 1}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

解题步骤 1.7.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{3}{2}$

解题步骤 1.7.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2}$

解题步骤 1.7.5

要将 $\frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.7.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.6.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

解题步骤 1.7.7

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{4}$

解题步骤 1.7.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.8.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 + 6}{4}$

解题步骤 1.7.8.2

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$\frac{9}{4}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{9}{4}$ 和给定点 $(1, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = \frac{9}{4} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{9}{4} \cdot (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 = \frac{9}{4} x + \frac{9}{4} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{9}{4}$ 和 $x$ 。

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $\frac{9}{4} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.5.1

组合 $\frac{9}{4}$ 和 $- 1$ 。

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 2 = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.5.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 8}{4}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $- 9$ 和 $8$ 相加。

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

解题步骤 2.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{9}{4} x - \frac{1}{4}$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例