微积分学示例

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = π$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\cos (y) y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $5 x^{4} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$20 x^{3} + 0$

解题步骤 1.3.3.2

将 $20 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$20 x^{3}$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

解题步骤 1.5

将 $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ 中的每一项除以 $\cos (y)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ 中的每一项都除以 $\cos (y)$ 。

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

解题步骤 1.5.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.2.1

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

解题步骤 1.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 1$ 和 $y = π$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

解题步骤 1.7.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

解题步骤 1.7.4

化简分母。

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解题步骤 1.7.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

解题步骤 1.7.4.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

解题步骤 1.7.5

化简表达式。

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解题步骤 1.7.5.1

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$\frac{20}{- 1}$

解题步骤 1.7.5.2

用 $20$ 除以 $- 1$ 。

$- 20$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 20$ 和给定点 $(1, π)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 20 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 20$ 乘以 $- 1$ 。

$y - π = - 20 x + 20$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $π$ 。

$y = - 20 x + 20 + π$

解题步骤 3

微积分学 示例

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