微积分学示例

$x^{2} y^{2} = 16$ , $(- 1, - 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 1$ 和 $y = - 4$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

解题步骤 1.2.6

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

解题步骤 1.3

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

从等式两边同时减去 $2 y^{2} x$ 。

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

解题步骤 1.5.2

将 $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ 中的每一项除以 $2 x^{2} y$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

将 $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ 中的每一项都除以 $2 x^{2} y$ 。

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.2.3

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1.1

从 $- 2 y^{2} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1.2.1

从 $2 x^{2} y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.3.2

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.2.1

从 $- y^{2} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

解题步骤 1.5.2.3.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.2.2.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.3.1

从 $- y x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.5.2.3.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.7

计算 $x = - 1$ 和 $y = - 4$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{y}{- 1}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 1.7.3

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$- 1 \cdot 4$

解题步骤 1.7.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $- 4$ 和给定点 $(- 1, - 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 4) = - 4 \cdot (x - (- 1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 4 = - 4 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简 $- 4 \cdot (x + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 4 = - 4 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 4 = - 4 x - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y + 4 = - 4 x - 4$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$y = - 4 x - 4 - 4$

解题步骤 2.3.2.2

从 $- 4$ 中减去 $4$ 。

$y = - 4 x - 8$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例