微积分学示例

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 5

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 6.1.2

组合 $3$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{0 - \cos (\frac{3 π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 6.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 6.1.4

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 6.1.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

解题步骤 6.2

用 $0$ 除以 $(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})$ 。

$0$

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