微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (5 x^{2})$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2}))}^{2} + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (3 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

解题步骤 9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

解题步骤 10.1.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin^{2} (0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

解题步骤 10.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2} + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

解题步骤 10.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

解题步骤 10.1.5

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + \sin^{2} (0)}{x^{2}}$

解题步骤 10.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 0^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 10.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{x^{2}}$

解题步骤 10.1.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{x^{2}}$

解题步骤 10.2

用 $0$ 除以 $x^{2}$ 。

$0$

微积分学 示例

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