微积分学示例

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 7

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{3}$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 8

将 $\frac{π}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 9.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 9.1.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.1.1.2

从 $3 \cos (\frac{π}{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (\cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.1.1.3

把 $3$ 重写为 $- 1$ 加 $4$

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.1.1.4

运用分配律。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3})) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 \cos (\frac{π}{3}) - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.1

约去公因数。

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.3.2

重写表达式。

$\frac{(1 - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.6

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.7

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{0 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{0 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.9

化简分子。

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解题步骤 9.1.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 \frac{1 + 4}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.1.9.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0 (\frac{5}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 乘以 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{0}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 9.3

用 $0$ 除以 $2 \cos (x) - 1$ 。

$0$

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