微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

解题步骤 1

计算 ${(1 + h)}^{4} - 1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(1 + h)}^{4}$ 重写为 ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ 。

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

解题步骤 2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

解题步骤 2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {(1 + h)}^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

将 ${(1 + h)}^{2}$ 重写为 $(1 + h) (1 + h)$ 。

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + h) (1 + h)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1

运用分配律。

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.2.2

运用分配律。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.2.3

运用分配律。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.3.1.2

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.3.1.3

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.3.1.4

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.3.2

将 $h$ 和 $h$ 相加。

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.5

重新排序项。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

解题步骤 2.1.4.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.4.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1 + h$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

解题步骤 2.1.4.8

化简。

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解题步骤 2.1.4.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

解题步骤 2.1.4.8.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

解题步骤 2.1.4.8.3

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

解题步骤 2.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

解题步骤 2.2.2

用 $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ 除以 $1$ 。

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

解题步骤 2.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ 。

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1

通过指数相加将 $h^{2}$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

将 $h^{2}$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 2.4.1.1.1

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 2.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 2.4.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $h^{2}$ 的左侧。

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 2.4.3

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

移动 $h$ 。

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 2.4.3.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 2.4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 2.4.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

解题步骤 2.5

将 $2 h^{2}$ 和 $2 h^{2}$ 相加。

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

解题步骤 2.6

将 $4 h$ 和 $2 h$ 相加。

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$

微积分学 示例

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