微积分学示例

x^{3} - 7 = 0

$x^{3} - 7 = 0$ ,

a = 2

$a = 2$

解题步骤 1

求

f (x) = x^{3} - 7

$f (x) = x^{3} - 7$ 的导数，以用于牛顿法。

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解题步骤 1.1

根据加法法则，

x^{3} - 7

$x^{3} - 7$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 3

$n = 3$ 。

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 1.3

因为

- 7

$- 7$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 7

$- 7$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

3 x^{2} + 0

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.4

将

3 x^{2}

$3 x^{2}$ 和

0

$0$ 相加。

3 x^{2}

$3 x^{2}$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

解题步骤 2

建立公式求

x_{2}

$x_{2}$ 的近似值。

x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})}

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})}$

解题步骤 3

将

x_{1}

$x_{1}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

x_{2} = 2 - \frac{{(2)}^{3} - 7}{3 {(2)}^{2}}

$x_{2} = 2 - \frac{{(2)}^{3} - 7}{3 {(2)}^{2}}$

解题步骤 4

化简方程的右边以求

x_{2}

$x_{2}$ 。

x_{2} = 1.91 ¯ 6

$x_{2} = 1.91\overline{6}$

解题步骤 5

建立公式求

x_{3}

$x_{3}$ 的近似值。

x_{3} = x_{2} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})}

$x_{3} = x_{2} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})}$

解题步骤 6

将

x_{2}

$x_{2}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

x_{3} = 1.91 ¯ 6 - \frac{{(1.91 ¯ 6)}^{3} - 7}{3 {(1.91 ¯ 6)}^{2}}

$x_{3} = 1.91\overline{6} - \frac{{(1.91\overline{6})}^{3} - 7}{3 {(1.91\overline{6})}^{2}}$

解题步骤 7

化简方程的右边以求

x_{3}

$x_{3}$ 。

x_{3} = 1.91293845

$x_{3} = 1.91293845$

解题步骤 8

建立公式求

x_{4}

$x_{4}$ 的近似值。

x_{4} = x_{3} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}

$x_{4} = x_{3} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$

解题步骤 9

将

x_{3}

$x_{3}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

x_{4} = 1.91293845 - \frac{{(1.91293845)}^{3} - 7}{3 {(1.91293845)}^{2}}

$x_{4} = 1.91293845 - \frac{{(1.91293845)}^{3} - 7}{3 {(1.91293845)}^{2}}$

解题步骤 10

化简方程的右边以求

x_{4}

$x_{4}$ 。

x_{4} = 1.91293118

$x_{4} = 1.91293118$

解题步骤 11

建立公式求

x_{5}

$x_{5}$ 的近似值。

x_{5} = x_{4} - \frac{f (x_{4})}{f' (x_{4})}

$x_{5} = x_{4} - \frac{f (x_{4})}{f' (x_{4})}$

解题步骤 12

将

x_{4}

$x_{4}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

x_{5} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}

$x_{5} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

解题步骤 13

化简方程的右边以求

x_{5}

$x_{5}$ 。

x_{5} = 1.91293118

$x_{5} = 1.91293118$

解题步骤 14

建立公式求

x_{6}

$x_{6}$ 的近似值。

x_{6} = x_{5} - \frac{f (x_{5})}{f' (x_{5})}

$x_{6} = x_{5} - \frac{f (x_{5})}{f' (x_{5})}$

解题步骤 15

将

x_{5}

$x_{5}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

x_{6} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}

$x_{6} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

解题步骤 16

化简方程的右边以求

x_{6}

$x_{6}$ 。

x_{6} = 1.91293118

$x_{6} = 1.91293118$

解题步骤 17

因为

6 t h

$6 t h$ 和

5 t h

$5 t h$ 的近似值等于

6

$6$ 个小数位数，所以

1.91293118

$1.91293118$ 是根的近似值。

1.91293118

$1.91293118$

微积分学 示例

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