微积分学示例

$x^{3} - 7 = 0$ , $a = 2$

解题步骤 1

求 $f (x) = x^{3} - 7$ 的导数，以用于牛顿法。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{3} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 1.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 2

建立公式求 $x_{2}$ 的近似值。

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})}$

解题步骤 3

将 $x_{1}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

$x_{2} = 2 - \frac{{(2)}^{3} - 7}{3 {(2)}^{2}}$

解题步骤 4

化简方程的右边以求 $x_{2}$ 。

$x_{2} = 1.91\overline{6}$

解题步骤 5

建立公式求 $x_{3}$ 的近似值。

$x_{3} = x_{2} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})}$

解题步骤 6

将 $x_{2}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

$x_{3} = 1.91\overline{6} - \frac{{(1.91\overline{6})}^{3} - 7}{3 {(1.91\overline{6})}^{2}}$

解题步骤 7

化简方程的右边以求 $x_{3}$ 。

$x_{3} = 1.91293845$

解题步骤 8

建立公式求 $x_{4}$ 的近似值。

$x_{4} = x_{3} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$

解题步骤 9

将 $x_{3}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

$x_{4} = 1.91293845 - \frac{{(1.91293845)}^{3} - 7}{3 {(1.91293845)}^{2}}$

解题步骤 10

化简方程的右边以求 $x_{4}$ 。

$x_{4} = 1.91293118$

解题步骤 11

建立公式求 $x_{5}$ 的近似值。

$x_{5} = x_{4} - \frac{f (x_{4})}{f' (x_{4})}$

解题步骤 12

将 $x_{4}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

$x_{5} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

解题步骤 13

化简方程的右边以求 $x_{5}$ 。

$x_{5} = 1.91293118$

解题步骤 14

建立公式求 $x_{6}$ 的近似值。

$x_{6} = x_{5} - \frac{f (x_{5})}{f' (x_{5})}$

解题步骤 15

将 $x_{5}$ 的值代入下一个牛顿法的近似值。

$x_{6} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

解题步骤 16

化简方程的右边以求 $x_{6}$ 。

$x_{6} = 1.91293118$

解题步骤 17

因为 $6 t h$ 和 $5 t h$ 的近似值等于 $6$ 个小数位数，所以 $1.91293118$ 是根的近似值。

$1.91293118$

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