微积分学示例

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $7 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

解题步骤 1.2.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

解题步骤 1.2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

解题步骤 1.2.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

解题步骤 1.2.5

将 $7$ 移到 $\cos (7 x)$ 的左侧。

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (7 x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (7 x)$ 。

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

解题步骤 1.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $\sin (7 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $7 x$ 。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 1.3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

解题步骤 1.3.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

解题步骤 1.3.6

将 $7$ 移到 $\cos (7 x)$ 的左侧。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

解题步骤 1.3.7

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

解题步骤 1.6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

解题步骤 1.6.1.3

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

解题步骤 1.6.1.4

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

解题步骤 1.6.1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

解题步骤 1.6.1.6

将 $14$ 乘以 $0$ 。

$0 + 7 \cos (7 (0))$

解题步骤 1.6.1.7

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$0 + 7 \cos (0)$

解题步骤 1.6.1.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 7 \cdot 1$

解题步骤 1.6.1.9

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$0 + 7$

解题步骤 1.6.2

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$7$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $7$ 和给定点 $(0, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 7 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y = 7 x$

解题步骤 3

微积分学 示例

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