微积分学示例

$y = 7 e^{x} \cos (x)$ , $(0, 7)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 7$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 e^{x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$7 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$7 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$7 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$7 (e^{x} (- \sin (x))) + 7 (\cos (x) e^{x})$

解题步骤 1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 7 e^{x} \sin (x) + 7 \cos (x) e^{x}$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$- 7 e^{x} \sin (x) + 7 e^{x} \cos (x)$

解题步骤 1.6

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$- 7 e^{0} \sin (0) + 7 e^{0} \cos (0)$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 7 \cdot 1 \sin (0) + 7 e^{0} \cos (0)$

解题步骤 1.7.1.2

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 7 \sin (0) + 7 e^{0} \cos (0)$

解题步骤 1.7.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 7 \cdot 0 + 7 e^{0} \cos (0)$

解题步骤 1.7.1.4

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$0 + 7 e^{0} \cos (0)$

解题步骤 1.7.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 7 \cdot 1 \cos (0)$

解题步骤 1.7.1.6

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$0 + 7 \cos (0)$

解题步骤 1.7.1.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 7 \cdot 1$

解题步骤 1.7.1.8

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$0 + 7$

解题步骤 1.7.2

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$7$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $7$ 和给定点 $(0, 7)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (7) = 7 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 7 = 7 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 7 = 7 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$y = 7 x + 7$

解题步骤 3

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