微积分学示例

$y = \ln (x^{2})$ , $(2, \ln (4))$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = \ln (4)$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 1.2.2

化简项。

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解题步骤 1.2.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{2}{x^{2}} x$

解题步骤 1.2.2.2

组合 $\frac{2}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.2.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 1.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 1.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{x}$

解题步骤 1.3

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$\frac{2}{2}$

解题步骤 1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(2, \ln (4))$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\ln (4)) = 1 \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \ln (4) = 1 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$y - \ln (4) = x - 2$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $\ln (4)$ 。

$y = x - 2 + \ln (4)$

解题步骤 3

微积分学 示例

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