微积分学示例

$y = x^{4} + 8 x^{2} - x$ , $(1, 8)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 8$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 8 x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$4 x^{3} + 16 x + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} + 16 x - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 16 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 16 x - 1$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$4 {(1)}^{3} + 16 (1) - 1$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$4 \cdot 1 + 16 (1) - 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 16 (1) - 1$

解题步骤 1.5.1.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$4 + 16 - 1$

解题步骤 1.5.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$20 - 1$

解题步骤 1.5.2.2

从 $20$ 中减去 $1$ 。

$19$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $19$ 和给定点 $(1, 8)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (8) = 19 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 8 = 19 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简 $19 \cdot (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 8 = 0 + 0 + 19 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 8 = 19 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 8 = 19 x + 19 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $19$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 8 = 19 x - 19$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = 19 x - 19 + 8$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 19$ 和 $8$ 相加。

$y = 19 x - 11$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例