微积分学示例

$\frac{lim_{h \to 0} 3 {(a + h)}^{2} - 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} 3 {(a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 1.2

因为项 $3$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{h \to 0} {(a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 1.3

使用极限幂法则把 ${(a + h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} a + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 1.5

计算 $a$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 1.6

计算 $3 a^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(a + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{3 {(a + 0)}^{2} - 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

从 $3 {(a + 0)}^{2} - 3 a^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $3 {(a + 0)}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(a + 0)}^{2}) - 3 a^{2}}{h}$

解题步骤 3.1.1.2

从 $- 3 a^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(a + 0)}^{2}) + 3 (- a^{2})}{h}$

解题步骤 3.1.1.3

从 $3 ({(a + 0)}^{2}) + 3 (- a^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(a + 0)}^{2} - a^{2})}{h}$

解题步骤 3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a + 0$ 和 $b = a$ 。

$\frac{3 ((a + 0 + a) (a + 0 - a))}{h}$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 ((a + a) (a + 0 - a))}{h}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $a$ 和 $a$ 相加。

$\frac{3 (2 a (a + 0 - a))}{h}$

解题步骤 3.1.3.3

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 (2 a (a - a))}{h}$

解题步骤 3.1.3.4

从 $a$ 中减去 $a$ 。

$\frac{3 (2 a \cdot 0)}{h}$

解题步骤 3.1.3.5

合并指数。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (0 a)}{h}$

解题步骤 3.1.3.5.2

将 $0$ 乘以 $a$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{h}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{h}$

解题步骤 3.3

用 $0$ 除以 $h$ 。

$0$

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