微积分学示例

2 ln (sec (x))

$2 \ln (\sec (x))$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意

$y = \sec (x)$ ，垂直渐近线均出现在

$x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中

$n$ 为一个整数。使用

$y = s e c (x)$ 、

$(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 的基本周期求

$y = \ln (\sec^{2} (x))$ 的垂直渐近线。将

$y = a \sec (b x + c) + d$ 的正割函数的变量

$b x + c$ 设为等于

$- \frac{π}{2}$ ，以求

$y = \ln (\sec^{2} (x))$ 的垂直渐近线出现的位置。

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

解题步骤 1.2.2

化简

$\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将

$- 1$ 重写为

$i^{2}$ 。

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

解题步骤 1.2.2.2

从根式下提出各项。

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.2.2.3

将

$\sqrt{\frac{π}{2}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.2.4

将

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 1.2.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.2.5.1

将

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.2.5.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.2.5.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 1.2.2.5.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.2.5.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.2.2.5.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 1.2.2.5.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2.5.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.2.5.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.5.6.4.1

约去公因数。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.2.5.6.4.2

重写表达式。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 1.2.2.5.6.5

计算指数。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.6

使用根数乘积法则进行合并。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.7

组合

$i$ 和

$\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.8

将

$2$ 移到

$π$ 的左侧。

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 1.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 1.2.3.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 1.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 1.2.4

建立每一个解以求解

$x$ 。

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

解题步骤 1.2.5

在

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出

$x$ 。

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

解题步骤 1.2.5.2

The inverse secant of

$arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

无定义

解题步骤 1.2.6

在

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出

$x$ 。

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

解题步骤 1.2.6.2

The inverse secant of

$arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

无定义

解题步骤 1.2.7

列出所有解。

无解

解题步骤 1.3

将正割函数

$\sec^{2} (x)$ 的变量设为

$\frac{3 π}{2}$ 。

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.4.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

解题步骤 1.4.2

化简

$\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

将

$\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

将

$\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.2.3.1

将

$\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2.3.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2.3.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 1.4.2.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.4.2.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.3.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 1.4.2.3.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.4.2.3.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.2.3.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.3.6.4.1

约去公因数。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.2.3.6.4.2

重写表达式。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 1.4.2.3.6.5

计算指数。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4.2.4

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

解题步骤 1.4.2.4.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 1.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.4.3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 1.4.3.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 1.4.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 1.4.4

建立每一个解以求解

$x$ 。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

解题步骤 1.4.5

在

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 1.4.5.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出

$x$ 。

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

解题步骤 1.4.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.5.2.1

计算

$arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ 。

$x = 1.09205895$

解题步骤 1.4.5.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从

$2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

解题步骤 1.4.5.4

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.4.5.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

解题步骤 1.4.5.4.2

化简

$2 (3.14159265) - 1.09205895$ 。

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解题步骤 1.4.5.4.2.1

将

$2$ 乘以

$3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

解题步骤 1.4.5.4.2.2

从

$6.2831853$ 中减去

$1.09205895$ 。

$x = 5.19112635$

解题步骤 1.4.5.5

求

$\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.4.5.5.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.4.5.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.4.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.4.5.5.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.4.5.6

$\sec (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.4.6

在

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出

$x$ 。

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

解题步骤 1.4.6.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.6.2.1

计算

$arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ 。

$x = 2.0495337$

解题步骤 1.4.6.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从

$2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

解题步骤 1.4.6.4

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.4.6.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

解题步骤 1.4.6.4.2

化简

$2 (3.14159265) - 2.0495337$ 。

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解题步骤 1.4.6.4.2.1

将

$2$ 乘以

$3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

解题步骤 1.4.6.4.2.2

从

$6.2831853$ 中减去

$2.0495337$ 。

$x = 4.2336516$

解题步骤 1.4.6.5

求

$\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.4.6.5.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.4.6.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.4.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.4.6.5.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.4.6.6

$\sec (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.4.7

列出所有解。

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.4.8

合并解集。

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解题步骤 1.4.8.1

将

$1.09205895 + 2 π n$ 和

$4.2336516 + 2 π n$ 合并为

$1.09205895 + π n$ 。

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.4.8.2

将

$5.19112635 + 2 π n$ 和

$2.0495337 + 2 π n$ 合并为

$2.0495337 + π n$ 。

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.5

$y = \ln (\sec^{2} (x))$ 的基期将出现在

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ ，其中

和

$1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ 为垂直渐近线。

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

解题步骤 1.6

求周期

$\frac{2 π}{| b |}$ 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。

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解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.6.2

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.7

$y = \ln (\sec^{2} (x))$ 的垂直渐近线出现在

、

$1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ 和每一个

$π n$ 处，其中

$n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

$π n$

解题步骤 1.8

正割和余割函数只有垂直渐近线。

垂直渐近线：任何整数

$n$ 的

$x = π n$

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线：任何整数

$n$ 的

$x = π n$

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 2

求在

$x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

计算

$\sec (1)$ 。

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

解题步骤 2.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$2 \ln (1.85081571)$ 。

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

解题步骤 2.2.3

对

$1.85081571$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (1) = \ln (3.42551882)$

解题步骤 2.2.4

最终答案为

$\ln (3.42551882)$ 。

$\ln (3.42551882)$

解题步骤 3

求在

$x = 5$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

$5$ 替换变量

$x$ 。

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

计算

$\sec (5)$ 。

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

解题步骤 3.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$2 \ln (3.52532008)$ 。

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

解题步骤 3.2.3

对

$3.52532008$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (5) = \ln (12.4278817)$

解题步骤 3.2.4

最终答案为

$\ln (12.4278817)$ 。

$\ln (12.4278817)$

解题步骤 4

求在

$x = 6$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

$6$ 替换变量

$x$ 。

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

计算

$\sec (6)$ 。

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

解题步骤 4.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$2 \ln (1.04148192)$ 。

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

解题步骤 4.2.3

对

$1.04148192$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (6) = \ln (1.0846846)$

解题步骤 4.2.4

最终答案为

$\ln (1.0846846)$ 。

$\ln (1.0846846)$

解题步骤 5

可以使用

$x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ 处的垂直渐近线和点

$(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线：

$x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例