微积分学 示例

绘制图像 2 sec(x) 的自然对数
解题步骤 1
求渐近线。
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解题步骤 1.1
对于任意 ,垂直渐近线均出现在 处,其中 为一个整数。使用 的基本周期求 的垂直渐近线。将 的正割函数的变量 设为等于 ,以求 的垂直渐近线出现的位置。
解题步骤 1.2
求解
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解题步骤 1.2.1
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.2.2
化简
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解题步骤 1.2.2.1
重写为
解题步骤 1.2.2.2
从根式下提出各项。
解题步骤 1.2.2.3
重写为
解题步骤 1.2.2.4
乘以
解题步骤 1.2.2.5
合并和化简分母。
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解题步骤 1.2.2.5.1
乘以
解题步骤 1.2.2.5.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.2.2.5.3
进行 次方运算。
解题步骤 1.2.2.5.4
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.2.2.5.5
相加。
解题步骤 1.2.2.5.6
重写为
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解题步骤 1.2.2.5.6.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.2.2.5.6.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.2.2.5.6.3
组合
解题步骤 1.2.2.5.6.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.2.5.6.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.2.5.6.4.2
重写表达式。
解题步骤 1.2.2.5.6.5
计算指数。
解题步骤 1.2.2.6
使用根数乘积法则进行合并。
解题步骤 1.2.2.7
组合
解题步骤 1.2.2.8
移到 的左侧。
解题步骤 1.2.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 1.2.3.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 1.2.3.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 1.2.3.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 1.2.4
建立每一个解以求解
解题步骤 1.2.5
中求解
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解题步骤 1.2.5.1
对方程两边取反正割以便从正割中提出
解题步骤 1.2.5.2
The inverse secant of is undefined.
无定义
无定义
解题步骤 1.2.6
中求解
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解题步骤 1.2.6.1
对方程两边取反正割以便从正割中提出
解题步骤 1.2.6.2
The inverse secant of is undefined.
无定义
无定义
解题步骤 1.2.7
列出所有解。
无解
无解
解题步骤 1.3
将正割函数 的变量设为
解题步骤 1.4
求解
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解题步骤 1.4.1
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.4.2
化简
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解题步骤 1.4.2.1
重写为
解题步骤 1.4.2.2
乘以
解题步骤 1.4.2.3
合并和化简分母。
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解题步骤 1.4.2.3.1
乘以
解题步骤 1.4.2.3.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.2.3.3
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.2.3.4
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.4.2.3.5
相加。
解题步骤 1.4.2.3.6
重写为
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解题步骤 1.4.2.3.6.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.4.2.3.6.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.4.2.3.6.3
组合
解题步骤 1.4.2.3.6.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.2.3.6.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.4.2.3.6.4.2
重写表达式。
解题步骤 1.4.2.3.6.5
计算指数。
解题步骤 1.4.2.4
化简分子。
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解题步骤 1.4.2.4.1
使用根数乘积法则进行合并。
解题步骤 1.4.2.4.2
乘以
解题步骤 1.4.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 1.4.3.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 1.4.3.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 1.4.3.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 1.4.4
建立每一个解以求解
解题步骤 1.4.5
中求解
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解题步骤 1.4.5.1
对方程两边取反正割以便从正割中提出
解题步骤 1.4.5.2
化简右边。
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解题步骤 1.4.5.2.1
计算
解题步骤 1.4.5.3
正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解,应从 中减去参考角以求第四象限中的解。
解题步骤 1.4.5.4
求解
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解题步骤 1.4.5.4.1
去掉圆括号。
解题步骤 1.4.5.4.2
化简
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解题步骤 1.4.5.4.2.1
乘以
解题步骤 1.4.5.4.2.2
中减去
解题步骤 1.4.5.5
的周期。
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解题步骤 1.4.5.5.1
函数的周期可利用 进行计算。
解题步骤 1.4.5.5.2
使用周期公式中的 替换
解题步骤 1.4.5.5.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 1.4.5.5.4
除以
解题步骤 1.4.5.6
函数的周期为 ,所以函数值在两个方向上每隔 弧度将重复出现。
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 1.4.6
中求解
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解题步骤 1.4.6.1
对方程两边取反正割以便从正割中提出
解题步骤 1.4.6.2
化简右边。
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解题步骤 1.4.6.2.1
计算
解题步骤 1.4.6.3
正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解,应从 中减去参考角以求第三象限中的解。
解题步骤 1.4.6.4
求解
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解题步骤 1.4.6.4.1
去掉圆括号。
解题步骤 1.4.6.4.2
化简
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解题步骤 1.4.6.4.2.1
乘以
解题步骤 1.4.6.4.2.2
中减去
解题步骤 1.4.6.5
的周期。
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解题步骤 1.4.6.5.1
函数的周期可利用 进行计算。
解题步骤 1.4.6.5.2
使用周期公式中的 替换
解题步骤 1.4.6.5.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 1.4.6.5.4
除以
解题步骤 1.4.6.6
函数的周期为 ,所以函数值在两个方向上每隔 弧度将重复出现。
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 1.4.7
列出所有解。
,对于任意整数
解题步骤 1.4.8
合并解集。
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解题步骤 1.4.8.1
合并为
,对于任意整数
解题步骤 1.4.8.2
合并为
,对于任意整数
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 1.5
的基期将出现在 ,其中 为垂直渐近线。
解题步骤 1.6
求周期 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。
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解题步骤 1.6.1
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 1.6.2
除以
解题步骤 1.7
的垂直渐近线出现在 和每一个 处,其中 是一个整数。这是周期的二分一。
解题步骤 1.8
正割和余割函数只有垂直渐近线。
垂直渐近线:任何整数
不存在水平渐近线
不存在斜渐近线
垂直渐近线:任何整数
不存在水平渐近线
不存在斜渐近线
解题步骤 2
求在 处的点。
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解题步骤 2.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 2.2
化简结果。
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解题步骤 2.2.1
计算
解题步骤 2.2.2
通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简
解题步骤 2.2.3
进行 次方运算。
解题步骤 2.2.4
最终答案为
解题步骤 3
求在 处的点。
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解题步骤 3.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 3.2
化简结果。
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解题步骤 3.2.1
计算
解题步骤 3.2.2
通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简
解题步骤 3.2.3
进行 次方运算。
解题步骤 3.2.4
最终答案为
解题步骤 4
求在 处的点。
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解题步骤 4.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 4.2
化简结果。
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解题步骤 4.2.1
计算
解题步骤 4.2.2
通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简
解题步骤 4.2.3
进行 次方运算。
解题步骤 4.2.4
最终答案为
解题步骤 5
可以使用 处的垂直渐近线和点 画出对数函数的图像。
垂直渐近线:
解题步骤 6