微积分学示例

$k \sqrt{x} - \ln (x)$

解题步骤 1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\ln (x)$ 。

$y \sqrt{x} = \ln (x)$

解题步骤 1.2

将 $y \sqrt{x} = \ln (x)$ 中的每一项除以 $\sqrt{x}$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $y \sqrt{x} = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $\sqrt{x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.3.2.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.3.2.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

解题步骤 1.2.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.2.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.6.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.2.6.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{1}}$

解题步骤 1.2.3.2.6.5

化简。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 2

求 $k \sqrt{x} - \ln (x) = 0$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 2.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.3

将 $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 2.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 3

要求根式端点，请将 $x$ 值 $0$ 代入 $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

解题步骤 3.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

$f (0) = Undefined$

无定义

解题步骤 4

根式表达式的端点为 $(0, Undefined)$ 。

$(0, Undefined)$

解题步骤 5

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 5.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ 。在本例中，该点为 $(1, 0)$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

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解题步骤 5.1.2.1

用 $\ln (1) \sqrt{1}$ 除以 $1$ 。

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

解题步骤 5.1.2.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

解题步骤 5.1.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = 0 \cdot 1$

解题步骤 5.1.2.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 5.1.2.5

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 5.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ 。在本例中，该点为 $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ 。

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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