微积分学示例

ln (x^{2} + 3 x + 7)

$\ln (x^{2} + 3 x + 7)$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

将对数的自变量设为零。

$x^{2} + 3 x + 7 = 0$

解题步骤 1.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.2

将

$a = 1$ 、

$b = 3$ 和

$c = 7$ 的值代入二次公式中并求解

$x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.1.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$7$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.1.3

从

$9$ 中减去

$28$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.1.4

将

$- 19$ 重写为

$- 1 (19)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.1.5

将

$\sqrt{- 1 (19)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.4

化简表达式以求

$\pm$ 在

$+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.1.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ 。

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解题步骤 1.2.4.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$7$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.1.3

从

$9$ 中减去

$28$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.1.4

将

$- 19$ 重写为

$- 1 (19)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.1.5

将

$\sqrt{- 1 (19)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.4.3

将

$\pm$ 变换为

$+$ 。

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.4.4

将

$- 3$ 重写为

$- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.4.5

从

$i \sqrt{19}$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}$

解题步骤 1.2.4.6

从

$- 1 (3) - (- i \sqrt{19})$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

解题步骤 1.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.5

化简表达式以求

$\pm$ 在

$-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ 。

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解题步骤 1.2.5.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$7$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.3

从

$9$ 中减去

$28$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.4

将

$- 19$ 重写为

$- 1 (19)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.5

将

$\sqrt{- 1 (19)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.5.3

将

$\pm$ 变换为

$-$ 。

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.5.4

将

$- 3$ 重写为

$- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.5.5

从

$- i \sqrt{19}$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}$

解题步骤 1.2.5.6

从

$- 1 (3) - (i \sqrt{19})$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

解题步骤 1.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 1.3

垂直渐近线出现在

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ 。

垂直渐近线：

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

垂直渐近线：

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 2

求在

$x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 3 (1) + 7)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \ln (1 + 3 (1) + 7)$

解题步骤 2.2.1.2

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = \ln (1 + 3 + 7)$

解题步骤 2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将

$1$ 和

$3$ 相加。

$f (1) = \ln (4 + 7)$

解题步骤 2.2.2.2

将

$4$ 和

$7$ 相加。

$f (1) = \ln (11)$

解题步骤 2.2.3

最终答案为

$\ln (11)$ 。

$\ln (11)$

解题步骤 2.3

把

$\ln (11)$ 转换成小数。

$y = 2.39789527$

解题步骤 3

求在

$x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

$2$ 替换变量

$x$ 。

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 3 (2) + 7)$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (2) = \ln (4 + 3 (2) + 7)$

解题步骤 3.2.1.2

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$f (2) = \ln (4 + 6 + 7)$

解题步骤 3.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将

$4$ 和

$6$ 相加。

$f (2) = \ln (10 + 7)$

解题步骤 3.2.2.2

将

$10$ 和

$7$ 相加。

$f (2) = \ln (17)$

解题步骤 3.2.3

最终答案为

$\ln (17)$ 。

$\ln (17)$

解题步骤 3.3

把

$\ln (17)$ 转换成小数。

$y = 2.83321334$

解题步骤 4

求在

$x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

$3$ 替换变量

$x$ 。

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 3 (3) + 7)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (3) = \ln (9 + 3 (3) + 7)$

解题步骤 4.2.1.2

将

$3$ 乘以

$3$ 。

$f (3) = \ln (9 + 9 + 7)$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将

$9$ 和

$9$ 相加。

$f (3) = \ln (18 + 7)$

解题步骤 4.2.2.2

将

$18$ 和

$7$ 相加。

$f (3) = \ln (25)$

解题步骤 4.2.3

最终答案为

$\ln (25)$ 。

$\ln (25)$

解题步骤 4.3

把

$\ln (25)$ 转换成小数。

$y = 3.21887582$

解题步骤 5

可以使用

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ 处的垂直渐近线和点

$(1, 2.39789527), (2, 2.83321334), (3, 3.21887582)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线：

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.398 \\ 2 & 2.833 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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