微积分学示例

ln (x e^{x})

$\ln (x e^{x})$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式

ln (x) + x

$\ln (x) + x$ 无定义。

x \leq 0

$x \leq 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ 时，

ln (x) + x

$\ln (x) + x$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，且从右侧，当

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ 时，

ln (x) + x

$\ln (x) + x$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ ，因此

x = 0

$x = 0$ 是一条垂直渐近线。

x = 0

$x = 0$

解题步骤 1.3

忽略对数，考虑分子的次数为

n

$n$ 且分母的次数为

m

$m$ 的有理函数

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果

n < m

$n < m$ ，那么 X 轴，即

y = 0

$y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果

n = m

$n = m$ ，那么水平渐近线为直线

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果

n > m

$n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.4

因为

Q (x)

$Q (x)$ 为

1

$1$ ，所以不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线：

x = 0

$x = 0$

不存在水平渐近线

垂直渐近线：

x = 0

$x = 0$

不存在水平渐近线

解题步骤 2

求在

x = 1

$x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

1

$1$ 替换变量

x

$x$ 。

f (1) = ln ((1) \cdot e^{1})

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{1})$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

将

e^{1}

$e^{1}$ 乘以

1

$1$ 。

f (1) = ln (e)

$f (1) = \ln (e)$

解题步骤 2.2.2

使用对数规则把

1

$1$ 移到指数外部。

f (1) = 1 ln (e)

$f (1) = 1 \ln (e)$

解题步骤 2.2.3

将

ln (e)

$\ln (e)$ 乘以

1

$1$ 。

f (1) = ln (e)

$f (1) = \ln (e)$

解题步骤 2.2.4

e

$e$ 的自然对数为

1

$1$ 。

f (1) = 1

$f (1) = 1$

解题步骤 2.2.5

最终答案为

1

$1$ 。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 2.3

把

1

$1$ 转换成小数。

y = 1

$y = 1$

y = 1

$y = 1$

解题步骤 3

求在

x = 2

$x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

2

$2$ 替换变量

x

$x$ 。

f (2) = ln ((2) \cdot e^{2})

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{2})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

将

2

$2$ 乘以

e^{2}

$e^{2}$ 。

f (2) = ln (2 e^{2})

$f (2) = \ln (2 e^{2})$

解题步骤 3.2.2

最终答案为

ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$ 。

ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$

ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$

解题步骤 3.3

把

ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$ 转换成小数。

y = 2.69314718

$y = 2.69314718$

y = 2.69314718

$y = 2.69314718$

解题步骤 4

求在

x = 3

$x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

3

$3$ 替换变量

x

$x$ 。

f (3) = ln ((3) \cdot e^{3})

$f (3) = \ln ((3) \cdot e^{3})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将

3

$3$ 乘以

e^{3}

$e^{3}$ 。

f (3) = ln (3 e^{3})

$f (3) = \ln (3 e^{3})$

解题步骤 4.2.2

最终答案为

ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$ 。

ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$

ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$

解题步骤 4.3

把

ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$ 转换成小数。

y = 4.09861228

$y = 4.09861228$

y = 4.09861228

$y = 4.09861228$

解题步骤 5

可以使用

x = 0

$x = 0$ 处的垂直渐近线和点

(1, 1), (2, 2.69314718), (3, 4.09861228)

$(1, 1), (2, 2.69314718), (3, 4.09861228)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线：

x = 0

$x = 0$

\begin{matrix} x & y 1 & 1 2 & 2.693 3 & 4.099 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 2.693 \\ 3 & 4.099 \end{array}$

解题步骤 6

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x^{2} & \frac{1}{2} \sqrt{π} & \int x d x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$