微积分学示例

$\ln (\sqrt{x + 1})$

解题步骤 1

求 $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\ln (\sqrt{x + 1})$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\sqrt{x + 1} > 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 1.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

化简 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

化简。

$x + 1 > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x + 1 > 0$

解题步骤 1.2.3

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x > - 1$

解题步骤 1.2.4

求 $\sqrt{x + 1}$ 的定义域。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\sqrt{x + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 1 \geq 0$

解题步骤 1.2.4.2

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 1.2.4.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 1, \infty)$

解题步骤 1.2.5

解由使等式成立的所有区间组成。

$x > - 1$

解题步骤 1.3

将 $\sqrt{x + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 1 \geq 0$

解题步骤 1.4

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 1.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x > - 1}$

区间计数法：

$(- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x > - 1}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $- 1$ 代入 $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

解题步骤 2.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

解题步骤 2.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

解题步骤 2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 1) = \ln (0)$

解题步骤 2.5

零的自然对数无定义。

$f (- 1) = Undefined$

无定义

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(- 1, Undefined)$ 。

$(- 1, Undefined)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ 。在本例中，该点为 $(0, 0)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

解题步骤 4.1.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (0) = \ln (1)$

解题步骤 4.1.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ 。在本例中，该点为 $(1, \ln (\sqrt{2}))$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

解题步骤 4.2.2.2

最终答案为 $\ln (\sqrt{2})$ 。

$y = \ln (\sqrt{2})$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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