微积分学示例

$\ln (\sqrt{x y})$

解题步骤 1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\sqrt{x y})} = e^{0}$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\ln (\sqrt{x y}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \sqrt{x y}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt{x y} = e^{0}$ 。

$\sqrt{x y} = e^{0}$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x y}}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x y}$ 重写成 ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x y)}^{1} = {(e^{0})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$x y = {(e^{0})}^{2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简 ${(e^{0})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 ${(e^{0})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x y = e^{0 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.1.2

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$x y = e^{0}$

解题步骤 3.3.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x y = 1$

解题步骤 3.4

将 $x y = 1$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $x y = 1$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{y}$

解题步骤 4

求 $y$ 在 $x = - 1$ 的值。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 1$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3

$y$ 在 $x = - 1$ 处的值为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 5

求 $y$ 在 $x = - 2$ 的值。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $- \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3

$y$ 在 $x = - 2$ 处的值为 $- \frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6

求 $y$ 在 $x = - 3$ 的值。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = \frac{1}{- 3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将负号移到分数的前面。

$f (- 3) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $- \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 6.3

$y$ 在 $x = - 3$ 处的值为 $- \frac{1}{3}$ 。

$y = - \frac{1}{3}$

解题步骤 7

求 $y$ 在 $x = 1$ 的值。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{1}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 7.3

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 8

求 $y$ 在 $x = 2$ 的值。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{1}{2}$

解题步骤 8.2

最终答案为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 8.3

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $\frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{1}{2}$

解题步骤 9

求 $y$ 在 $x = 3$ 的值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{1}{3}$

解题步骤 9.2

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 9.3

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{1}{3}$

解题步骤 10

列出绘制图像所需的点。

$(- 1, - 1), (- 2, - 0.5), (- 3, - 0.\overline{3}), (1, 1), (2, 0.5), (3, 0.\overline{3})$

解题步骤 11

选择某些点来画图。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 0.333 \\ - 2 & - 0.5 \\ - 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \end{array}$

解题步骤 12

微积分学 示例

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