微积分学示例

$\ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

解题步骤 1

求 $y$ 在 $x = 1$ 的值。

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解题步骤 1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln ((1) + \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

解题步骤 1.2

化简结果。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 (1 - 1)})$

解题步骤 1.2.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 \cdot 0})$

解题步骤 1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{0})$

解题步骤 1.2.1.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{0^{2}})$

解题步骤 1.2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (1) = \ln (1 + 0)$

$f (1) = \ln (1 + 0)$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (1) = \ln (1)$

解题步骤 1.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 1.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

$0$

解题步骤 1.3

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $0$ 。

$y = 0$

$y = 0$

解题步骤 2

求 $y$ 在 $x = 2$ 的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \ln ((2) + \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 (2 - 1)})$

解题步骤 2.2.1.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 \cdot 1})$

解题步骤 2.2.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3})$

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 2.2.2

最终答案为 $\ln (2 + \sqrt{3})$ 。

$\ln (2 + \sqrt{3})$

$\ln (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $\ln (2 + \sqrt{3})$ 。

$y = \ln (2 + \sqrt{3})$

$y = \ln (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 3

求 $y$ 在 $x = 3$ 的值。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \ln ((3) + \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (3 - 1)})$

解题步骤 3.2.1.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 \cdot 2})$

解题步骤 3.2.1.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{8})$

解题步骤 3.2.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.2.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (2)})$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

解题步骤 3.2.1.5

从根式下提出各项。

$f (3) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

$f (3) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\ln (3 + 2 \sqrt{2})$ 。

$\ln (3 + 2 \sqrt{2})$

$\ln (3 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 3.3

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $\ln (3 + 2 \sqrt{2})$ 。

$y = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

$y = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 4

列出绘制图像所需的点。

$(1, 0), (2, 1.31695789), (3, 1.76274717)$

解题步骤 5

选择某些点来画图。

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.317 \\ 3 & 1.763 \end{array}$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$