微积分学示例

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ 无定义。

$x \leq - \frac{5}{7}$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ 时， $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ 时， $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - \frac{5}{7}$ 是一条垂直渐近线。

$x = - \frac{5}{7}$

解题步骤 1.3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 1.3.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.3.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

解题步骤 1.3.1.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

解题步骤 1.3.1.1.3

因为指数 $7 x + 5$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{7 x + 5}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 7 x + 5$ 。

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解题步骤 1.3.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x + 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.2.3

使用 $7 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.3

根据加法法则， $7 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.6

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.8

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.9

组合 $\frac{1}{7 x + 5}$ 和 $7$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

解题步骤 1.3.1.3.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x + 5$ 。

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解题步骤 1.3.1.3.10.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x + 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

解题步骤 1.3.1.3.10.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

解题步骤 1.3.1.3.10.3

使用 $7 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

解题步骤 1.3.1.3.11

根据加法法则， $7 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

解题步骤 1.3.1.3.12

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

解题步骤 1.3.1.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

解题步骤 1.3.1.3.14

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

解题步骤 1.3.1.3.15

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

解题步骤 1.3.1.3.16

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

解题步骤 1.3.1.3.17

将 $7$ 移到 $e^{7 x + 5}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

解题步骤 1.3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

解题步骤 1.3.1.5

将 $\frac{7}{7 x + 5}$ 乘以 $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

解题步骤 1.3.1.6

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.6.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

解题步骤 1.3.1.6.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

解题步骤 1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ 趋于 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - \frac{5}{7}$

水平渐近线： $y = 0$

垂直渐近线： $x = - \frac{5}{7}$

水平渐近线： $y = 0$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $7$ 和 $5$ 相加。

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

解题步骤 2.2.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $7$ 和 $5$ 相加。

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ 。

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

解题步骤 2.3

把 $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ 转换成小数。

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $14$ 和 $5$ 相加。

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

解题步骤 3.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $14$ 和 $5$ 相加。

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ 。

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

解题步骤 3.3

把 $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ 转换成小数。

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $21$ 和 $5$ 相加。

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $21$ 和 $5$ 相加。

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ 。

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

解题步骤 4.3

把 $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ 转换成小数。

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

解题步骤 5

可以使用 $x = - \frac{5}{7}$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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