微积分学示例

$\frac{4000}{\ln (x + 5)}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ 无定义。

$x \leq - 5, x = - 4$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 4$ 时， $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 4$ 时， $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 4$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 4$

解题步骤 1.3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{4000}{\ln (x + 5)}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 1.3.1

因为项 $4000$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4000 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x + 5)}$

解题步骤 1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\ln (x + 5)}$ 趋于 $0$ 。

$4000 \cdot 0$

解题步骤 1.3.3

将 $4000$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 4$

水平渐近线： $y = 0$

垂直渐近线： $x = - 4$

水平渐近线： $y = 0$

解题步骤 2

求在 $x = - 3$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = \frac{4000}{\ln ((- 3) + 5)}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$f (- 3) = \frac{4000}{\ln (2)}$

解题步骤 2.2.2

最终答案为 $\frac{4000}{\ln (2)}$ 。

$\frac{4000}{\ln (2)}$

解题步骤 2.3

把 $\frac{4000}{\ln (2)}$ 转换成小数。

$y = 5770.78016355$

解题步骤 3

求在 $x = - 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{4000}{\ln ((- 2) + 5)}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 2$ 和 $5$ 相加。

$f (- 2) = \frac{4000}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\frac{4000}{\ln (3)}$ 。

$\frac{4000}{\ln (3)}$

解题步骤 3.3

把 $\frac{4000}{\ln (3)}$ 转换成小数。

$y = 3640.9569065$

解题步骤 4

求在 $x = - 1$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln ((- 1) + 5)}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln (4)}$

解题步骤 4.2.2

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln (2^{2})}$

解题步骤 4.2.3

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$f (- 1) = \frac{4000}{2 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.4

约去 $4000$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $4000$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

从 $2 \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 (\ln (2))}$

解题步骤 4.2.4.2.2

约去公因数。

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.4.2.3

重写表达式。

$f (- 1) = \frac{2000}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.5

最终答案为 $\frac{2000}{\ln (2)}$ 。

$\frac{2000}{\ln (2)}$

解题步骤 4.3

把 $\frac{2000}{\ln (2)}$ 转换成小数。

$y = 2885.39008177$

解题步骤 5

可以使用 $x = - 4$ 处的垂直渐近线和点 $(- 3, 5770.78016355), (- 2, 3640.9569065), (- 1, 2885.39008177)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 5770.78 \\ - 2 & 3640.957 \\ - 1 & 2885.39 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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