微积分学示例

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ 无定义。

$x = 0$

解题步骤 1.2

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 1.2.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.2.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.2.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.1.2.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.1.1.2.3.1

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$\frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.1.2.3.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 1.2.1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 1.2.1.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.2.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.2

根据加法法则， $1 - \ln (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 。

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解题步骤 1.2.1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{2}{x^{2}} x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.5

组合 $\frac{2}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.6

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.3.4.6.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1.3.4.6.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.6.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.4.6.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.5

从 $0$ 中减去 $\frac{2}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.2.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{3 x^{2}}$

解题步骤 1.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

解题步骤 1.2.1.5

合并因数。

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解题步骤 1.2.1.5.1

将 $\frac{1}{3 x^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{2} x}$

解题步骤 1.2.1.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 (x^{1} x^{2})}$

解题步骤 1.2.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{1 + 2}}$

解题步骤 1.2.1.5.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.2.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.2.2

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.2.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{2}{3} \cdot 0$

解题步骤 1.2.4

乘以 $- \frac{2}{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{2}{3})$

解题步骤 1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$0$

解题步骤 1.3

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 1.4

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.5

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0$

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1 - 2 \ln (1)}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1^{3}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = \frac{1 + 0}{1^{3}}$

解题步骤 2.2.1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (1) = \frac{1}{1^{3}}$

解题步骤 2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 2.3

把 $1$ 转换成小数。

$y = 1$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{1 - 2 \ln (2)}{{(2)}^{3}}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (2)$ 。

$f (2) = \frac{1 - \ln (2^{2})}{2^{3}}$

解题步骤 3.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{2^{3}}$

解题步骤 3.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{8}$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ 。

$\frac{1 - \ln (4)}{8}$

解题步骤 3.3

把 $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ 转换成小数。

$y = - 0.04828679$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{1 - 2 \ln (3)}{{(3)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (3)$ 。

$f (3) = \frac{1 - \ln (3^{2})}{3^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{3^{3}}$

解题步骤 4.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{27}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ 。

$\frac{1 - \ln (9)}{27}$

解题步骤 4.3

把 $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ 转换成小数。

$y = - 0.04434165$

解题步骤 5

可以使用 $x = 0$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 1), (2, - 0.04828679), (3, - 0.04434165)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.048 \\ 3 & - 0.044 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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