微积分学示例

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ 无定义。

$x \leq 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 1.3

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 3$

解题步骤 1.5

因为 $n = m$ ，所以水平渐近线就是在 $a = 64$ 和 $b = 3$ 上的直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

$y = \frac{64}{3}$

解题步骤 1.6

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = \frac{64}{3}$

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = \frac{64}{3}$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

解题步骤 2.2.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

解题步骤 2.2.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

解题步骤 2.2.5

将 $125$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 2.2.7

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

把 $0$ 转换成小数。

$y = 0$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

解题步骤 3.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

解题步骤 3.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

解题步骤 3.2.4.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

解题步骤 3.2.5

对 $\frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

解题步骤 3.2.6

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

解题步骤 3.2.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

解题步骤 3.2.8

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{729}{8} \ln (2)$ 。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

解题步骤 3.2.9

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ 。

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 3.2.10

将 ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.10.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

解题步骤 3.2.10.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.10.2.1

从 $729$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

解题步骤 3.2.10.2.2

约去公因数。

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

解题步骤 3.2.10.2.3

重写表达式。

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

解题步骤 3.2.11

最终答案为 $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ 。

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

解题步骤 3.3

把 $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ 转换成小数。

$y = 21.0543456$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

解题步骤 4.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

解题步骤 4.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

解题步骤 4.2.4.2

将 $12$ 和 $1$ 相加。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

解题步骤 4.2.5

对 $\frac{13}{3}$ 运用乘积法则。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

解题步骤 4.2.6

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

解题步骤 4.2.7

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

解题步骤 4.2.8

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{2197}{27} \ln (3)$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

解题步骤 4.2.9

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ 。

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.2.10

将 ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.10.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

解题步骤 4.2.10.2

乘以 $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.10.2.1

将 $\frac{2197}{27}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

解题步骤 4.2.10.2.2

将 $27$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

解题步骤 4.2.11

最终答案为 $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ 。

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

解题步骤 4.3

把 $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ 转换成小数。

$y = 29.79816294$

解题步骤 5

可以使用 $x = 0$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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