微积分学示例

$t \sqrt{\ln (t)}$

解题步骤 1

求 $y = t \sqrt{\ln (t)}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 1.2

将 $\sqrt{\ln (x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\ln (x) \geq 0$

解题步骤 1.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1

将不等式转换为等式。

$\ln (x) = 0$

解题步骤 1.3.2

求解方程。

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解题步骤 1.3.2.1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

解题步骤 1.3.2.2

使用对数的定义将 $\ln (x) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = x$

解题步骤 1.3.2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.1

将方程重写为 $x = e^{0}$ 。

$x = e^{0}$

解题步骤 1.3.2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.3.3

求 $\ln (x)$ 的定义域。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 1.3.3.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(0, \infty)$

解题步骤 1.3.4

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq 1$

解题步骤 1.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[1, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 1}$

区间计数法：

$[1, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 1}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $1$ 代入 $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = (1) \sqrt{\ln (1)}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

将 $\sqrt{\ln (1)}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{\ln (1)}$

解题步骤 2.2.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (1) = 0$

解题步骤 2.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(1, 0)$ 。

$(1, 0)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ 。在本例中，该点为 $(2, 2 \sqrt{\ln (2)})$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = (2) \sqrt{\ln (2)}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $2$ 乘以 $\sqrt{\ln (2)}$ 。

$f (2) = 2 \sqrt{\ln (2)}$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $2 \sqrt{\ln (2)}$ 。

$y = 2 \sqrt{\ln (2)}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $3$ 代入 $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ 。在本例中，该点为 $(3, 3 \sqrt{\ln (3)})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = (3) \sqrt{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $3$ 乘以 $\sqrt{\ln (3)}$ 。

$f (3) = 3 \sqrt{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.2.2

最终答案为 $3 \sqrt{\ln (3)}$ 。

$y = 3 \sqrt{\ln (3)}$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(1, 0), (2, 1.67), (3, 3.14)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.67 \\ 3 & 3.14 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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