微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{9}{10}} - 6$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{\frac{9}{10}} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{9}{10}$ 。

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2.5.2

从 $9$ 中减去 $10$ 。

$\frac{9}{10} x^{\frac{- 1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + 0$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{10}}} + 0$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $\frac{9}{10}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ 。

$\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}} + 0$

解题步骤 1.4.2.2

将 $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{9}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$ 。

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ 。

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{10} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{10}}]$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{10}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{10}$ 。

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 10}{10}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 10}{10}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $10$ 。

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 11}{10}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{11}{10}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{11}{10}}$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{9}{10} (- \frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10})$

解题步骤 2.10

将 $\frac{9}{10}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10}$ 。

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{10 \cdot 10}$

解题步骤 2.11

乘。

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解题步骤 2.11.1

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{100}$

解题步骤 2.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{11}{10}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{9}{100}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$ 。

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{10} \cdot - 1}]$

解题步骤 3.2.2.2

乘以 $\frac{11}{10} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

组合 $\frac{11}{10}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11 \cdot - 1}{10}}]$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 11}{10}}]$

解题步骤 3.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{11}{10}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{11}{10}$ 。

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 10}{10}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 10}{10}})$

解题步骤 3.7.2

从 $- 11$ 中减去 $10$ 。

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 21}{10}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{21}{10}})$

解题步骤 3.9

组合 $x^{- \frac{21}{10}}$ 和 $\frac{11}{10}$ 。

$- \frac{9}{100} (- \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10})$

解题步骤 3.10

乘。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{9}{100}) \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

解题步骤 3.10.2

将 $\frac{9}{100}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9}{100} \cdot \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

解题步骤 3.11

将 $\frac{9}{100}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$ 。

$\frac{9 (x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11)}{100 \cdot 10}$

解题步骤 3.12

乘。

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解题步骤 3.12.1

将 $11$ 乘以 $9$ 。

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{100 \cdot 10}$

解题步骤 3.12.2

将 $100$ 乘以 $10$ 。

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{1000}$

解题步骤 3.12.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{21}{10}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = \frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{99}{1000}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$ 。

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ 。

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21}{10} \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2.2

乘以 $\frac{21}{10} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

组合 $\frac{21}{10}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21 \cdot - 1}{10}}]$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 21}{10}}]$

解题步骤 4.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{21}{10}}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{21}{10}$ 。

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1})$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 1 \cdot 10}{10}})$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 10}{10}})$

解题步骤 4.7.2

从 $- 21$ 中减去 $10$ 。

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 31}{10}})$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{31}{10}})$

解题步骤 4.9

组合 $x^{- \frac{31}{10}}$ 和 $\frac{21}{10}$ 。

$\frac{99}{1000} (- \frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10})$

解题步骤 4.10

将 $\frac{99}{1000}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10}$ 。

$- \frac{99 (x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21)}{1000 \cdot 10}$

解题步骤 4.11

乘。

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解题步骤 4.11.1

将 $21$ 乘以 $99$ 。

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{1000 \cdot 10}$

解题步骤 4.11.2

将 $1000$ 乘以 $10$ 。

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{10000}$

解题步骤 4.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{31}{10}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = - \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$ 。

$- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$

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