微积分学示例

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{12}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

解题步骤 4.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 12$ 。

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

解题步骤 4.2.1.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

解题步骤 4.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $12$ 。

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{12}{x}$ 和 $\ln^{11} (x)$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{12}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{12}$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

解题步骤 4.3.1.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

解题步骤 4.3.1.3

使用 $x^{12}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 12$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

解题步骤 4.3.3

组合 $12$ 和 $\frac{1}{x^{12}}$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

解题步骤 4.3.4

组合 $\frac{12}{x^{12}}$ 和 $x^{11}$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

解题步骤 4.3.5

约去 $x^{11}$ 和 $x^{12}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $12 x^{11}$ 中分解出因数 $x^{11}$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.1

从 $x^{12}$ 中分解出因数 $x^{11}$ 。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

解题步骤 4.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

解题步骤 4.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

微积分学 示例

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