微积分学示例

$y^{6} - 7 x^{5} = 7 x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{6} - 7 x^{5}) = \frac{d}{d x} (7 x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y^{6} - 7 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$6 y^{5} y' - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$6 y^{5} y' - 7 (5 x^{4})$

解题步骤 2.3.3

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$6 y^{5} y' - 35 x^{4}$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y' = 7$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $35 x^{4}$ 。

$6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$

解题步骤 5.2

将 $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ 中的每一项除以 $6 y^{5}$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ 中的每一项都除以 $6 y^{5}$ 。

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $y^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

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