微积分学示例

$y = \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt[3]{x}}}$

解题步骤 1

将右边重写成指数为有理数的形式。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{1}{\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}}$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}$ 重写成 ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.1

将 $\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.1.2

将 ${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 4.1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $x + x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.7.2

组合 ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $x + x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 4.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 4.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 4.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.13

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.14

化简分子。

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解题步骤 4.14.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 4.14.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 4.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 4.16

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 4.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 4.18

化简。

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解题步骤 4.18.1

重新排序 $- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 的因式。

$- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.2

运用分配律。

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.4

将 $- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.5

化简分子。

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解题步骤 4.18.5.1

从 $- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 4.18.5.1.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.5.1.2

从 $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.5.1.3

从 $- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.5.1.4

将 $- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 重写为 $- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 。

$\frac{- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18.7

乘以 $- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

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解题步骤 4.18.7.1

将 $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.18.7.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

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