微积分学示例

$q = \cos (\frac{t}{\sqrt{t + 5}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + 5}$ 重写成 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$q = \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}))$

解题步骤 3

$q$ 对 $t$ 的导数为 $q'$ 。

$q'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = \frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 ${({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

约去公因数。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2.2

重写表达式。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{1}}$

解题步骤 4.4

化简。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

解题步骤 4.5.2

将 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

解题步骤 4.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = t + 5$ 。

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解题步骤 4.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t + 5$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.6.3

使用 $t + 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.9

在公分母上合并分子。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.10

化简分子。

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解题步骤 4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.11

合并分数。

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解题步骤 4.11.1

将负号移到分数的前面。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

解题步骤 4.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $t$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5]}{t + 5}$

解题步骤 4.12

根据加法法则， $t + 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

解题步骤 4.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

解题步骤 4.14

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 5}$

解题步骤 4.15

化简表达式。

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解题步骤 4.15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 5}$

解题步骤 4.15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.16

要将 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.17

组合 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.18

在公分母上合并分子。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.19

通过指数相加将 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.19.1

移动 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.19.3

在公分母上合并分子。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.19.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.19.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.20

化简 ${(t + 5)}^{1} \cdot 2$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 5) \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.21

将 $2$ 移到 $t + 5$ 的左侧。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

解题步骤 4.22

将 $\frac{\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$ 重写为乘积形式。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 5})$

解题步骤 4.23

将 $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{t + 5}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (t + 5)}$

解题步骤 4.24

对 $t + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 ({(t + 5)}^{1} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.26

化简表达式。

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解题步骤 4.26.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.26.2

在公分母上合并分子。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 4.26.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27

组合 $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$- \frac{(2 (t + 5) - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.28

化简。

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解题步骤 4.28.1

运用分配律。

$- \frac{(2 t + 2 \cdot 5 - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.28.2

化简分子。

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解题步骤 4.28.2.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{(2 t + 10 - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.28.2.2

从 $2 t$ 中减去 $t$ 。

$- \frac{(t + 10) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.28.2.3

运用分配律。

$- \frac{t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.28.3

从 $t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

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解题步骤 4.28.3.1

从 $t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.28.3.2

从 $10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.28.3.3

从 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10$ 中分解出因数 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$q' = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d q}{d t}$ 替换 $q'$ 。

$\frac{d q}{d t} = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

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