微积分学示例

$\frac{x}{x^{2} + 49}$

解题步骤 1

将 $\frac{x}{x^{2} + 49}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 49$ 。

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $x^{2} + 49$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$\frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} + 49$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{2}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

将 ${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.2

根据加法法则， $- x^{2} + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.6

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.7

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 49$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 49$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2} + 49$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.2

根据加法法则， $x^{2} + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.4

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 49$ 的左侧。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) (2 \cdot (x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1

运用分配律。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2

运用分配律。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.2

将 ${(x^{2} + 49)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ 。

$\frac{- 2 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.2

将 $49$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.3

将 $49$ 乘以 $49$ 。

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.2

将 $49 x^{2}$ 和 $49 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 2 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.5

运用分配律。

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (98 x^{2}) - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.6.1

将 $98$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.6.2

将 $- 2$ 乘以 $2401$ 。

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 4802) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.7

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{4} x - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x^{1} x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{1 + 2} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.9

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $49$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.10.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x^{1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{2} x - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x \cdot x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x^{1} x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{1 + 2} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.4

将 $4$ 乘以 $49$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.5

将 $49$ 乘以 $- 196$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.2

从 $196 x^{3}$ 中减去 $196 x^{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 0 - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.3

将 $4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.2

将 $- 2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.3

从 $- 4802 x$ 中减去 $9604 x$ 。

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.4.1

从 $2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.4.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.2

从 $- 196 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.3

从 $- 14406 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.4

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.5

从 $2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 98 u - 7203$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 7203$ ，和为 $- 98$ 。

$- 147, 49$

解题步骤 2.2.5.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.5

约去 $x^{2} + 49$ 和 ${(x^{2} + 49)}^{4}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.5.1

从 $2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ 中分解出因数 $x^{2} + 49$ 。

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.5.2.1

从 ${(x^{2} + 49)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 49$ 。

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 2.2.5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 2.2.5.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$2 x (x^{2} - 147) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 147 = 0$

解题步骤 3.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.3.3

将 $x^{2} - 147$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

将 $x^{2} - 147$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 147 = 0$

解题步骤 3.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 147 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.1

在等式两边都加上 $147$ 。

$x^{2} = 147$

解题步骤 3.3.3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{147}$

解题步骤 3.3.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{147}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.3.1

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.3.1.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$x = \pm \sqrt{49 (3)}$

解题步骤 3.3.3.2.3.1.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

解题步骤 3.3.3.2.3.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 7 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 7 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 7 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.4

最终解为使 $2 x (x^{2} - 147) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 49}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0 + 49}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $0$ 和 $49$ 相加。

$f (0) = \frac{0}{49}$

解题步骤 4.1.2.2

用 $0$ 除以 $49$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $7 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $7 \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{{(7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.1

对 $7 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.3.5

计算指数。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $49$ 乘以 $3$ 。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $147$ 和 $49$ 相加。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{196}$

解题步骤 4.3.2.2

约去 $7$ 和 $196$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1

从 $7 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 (\sqrt{3})}{196}$

解题步骤 4.3.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.2.1

从 $196$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

解题步骤 4.3.2.2.2.2

约去公因数。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

解题步骤 4.3.2.2.2.3

重写表达式。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{28}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\frac{\sqrt{3}}{28}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{28}$

解题步骤 4.4

通过将 $7 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 中求得的点为 $(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

解题步骤 4.5

将 $- 7 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

使用表达式中的 $- 7 \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

解题步骤 4.5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.2.1.1

对 $- 7 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.2

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.3.5

计算指数。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.4

将 $49$ 乘以 $3$ 。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

解题步骤 4.5.2.1.5

将 $147$ 和 $49$ 相加。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{196}$

解题步骤 4.5.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.2.2.1

约去 $- 7$ 和 $196$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.2.2.1.1

从 $- 7 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{196}$

解题步骤 4.5.2.2.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.2.2.1.2.1

从 $196$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 (28)}$

解题步骤 4.5.2.2.1.2.2

约去公因数。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 \cdot 28}$

解题步骤 4.5.2.2.1.2.3

重写表达式。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{28}$

解题步骤 4.5.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 7 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{28}$

解题步骤 4.5.2.3

最终答案为 $- \frac{\sqrt{3}}{28}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{28}$

解题步骤 4.6

通过将 $- 7 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 中求得的点为 $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

解题步骤 4.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28}), (- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 7 \sqrt{3}) \cup (- 7 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 7 \sqrt{3}) \cup (7 \sqrt{3}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 12.22435565$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{2 (- 12.22435565) ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 12.22435565$ 。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 24.4487113 ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 24.4487113$ 乘以 ${(- 12.22435565)}^{2} - 147$ 。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

对 $- 12.22435565$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $149.43487113$ 和 $49$ 相加。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $198.43487113$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{7813650.47871413}$

解题步骤 6.2.3

用 $- 59.52946133$ 除以 $7813650.47871413$ 。

$f'' (- 12.22435565) = - 0.00000761$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 0.00000761$ 。

$- 0.00000761$

解题步骤 6.3

在 $- 12.22435565$ ，二阶导数为 $- 7.61864911 E - 6$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 6.06217782$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{2 (- 6.06217782) ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 6.06217782$ 。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{- 12.12435565 ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 12.12435565$ 乘以 ${(- 6.06217782)}^{2} - 147$ 。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

对 $- 6.06217782$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $36.75$ 和 $49$ 相加。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $85.75$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{630525.109375}$

解题步骤 7.2.3

用 $1336.71021074$ 除以 $630525.109375$ 。

$f'' (- 6.06217782) = 0.00211999$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $0.00211999$ 。

$0.00211999$

解题步骤 7.3

在 $- 6.06217782$ 处，二阶导数为 $0.00211999$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, 7 \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用表达式中的 $6.06217782$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6.06217782) = \frac{2 (6.06217782) ({(6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

将 $2$ 乘以 $6.06217782$ 。

$f'' (6.06217782) = \frac{12.12435565 ({6.06217782}^{2} - 147)}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $12.12435565$ 乘以 ${6.06217782}^{2} - 147$ 。

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

对 $6.06217782$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $36.75$ 和 $49$ 相加。

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $85.75$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{630525.109375}$

解题步骤 8.2.3

用 $- 1336.71021074$ 除以 $630525.109375$ 。

$f'' (6.06217782) = - 0.00211999$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 0.00211999$ 。

$- 0.00211999$

解题步骤 8.3

在 $6.06217782$ ，二阶导数为 $- 0.00211999$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 7 \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 7 \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(7 \sqrt{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

使用表达式中的 $12.22435565$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (12.22435565) = \frac{2 (12.22435565) ({(12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1

将 $2$ 乘以 $12.22435565$ 。

$f'' (12.22435565) = \frac{24.4487113 ({12.22435565}^{2} - 147)}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $24.4487113$ 乘以 ${12.22435565}^{2} - 147$ 。

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1

对 $12.22435565$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $149.43487113$ 和 $49$ 相加。

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $198.43487113$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{7813650.47871413}$

解题步骤 9.2.3

用 $59.52946133$ 除以 $7813650.47871413$ 。

$f'' (12.22435565) = 0.00000761$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $0.00000761$ 。

$0.00000761$

解题步骤 9.3

在 $12.22435565$ 处，二阶导数为 $7.61864911 E - 6$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(7 \sqrt{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(7 \sqrt{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ 。

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例