微积分学示例

$6 e^{5 t} = 3 e^{2 t}$

解题步骤 1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (6 e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

解题步骤 2

展开左边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (6 e^{5 t})$ 重写为 $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ 。

$\ln (6) + \ln (e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

解题步骤 2.2

通过将 $5 t$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{5 t})$ 。

$\ln (6) + 5 t \ln (e) = \ln (3 e^{2 t})$

解题步骤 2.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (6) + 5 t \cdot 1 = \ln (3 e^{2 t})$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\ln (6) + 5 t = \ln (3 e^{2 t})$

解题步骤 3

展开右边。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (3 e^{2 t})$ 重写为 $\ln (3) + \ln (e^{2 t})$ 。

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + \ln (e^{2 t})$

解题步骤 3.2

通过将 $2 t$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 t})$ 。

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \ln (e)$

解题步骤 3.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \cdot 1$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t$

解题步骤 4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (6) - \ln (3) = - 5 t + 2 t$

解题步骤 5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{6}{3}) = - 5 t + 2 t$

解题步骤 6

用 $6$ 除以 $3$ 。

$\ln (2) = - 5 t + 2 t$

解题步骤 7

将 $- 5 t$ 和 $2 t$ 相加。

$\ln (2) = - 3 t$

解题步骤 8

因为 $t$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- 3 t = \ln (2)$

解题步骤 9

将 $- 3 t = \ln (2)$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 9.1

将 $- 3 t = \ln (2)$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

解题步骤 9.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{\ln (2)}{- 3}$

解题步骤 9.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.1

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

小数形式：

$t = - 0.23104906 \dots$

微积分学 示例

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