微积分学示例

$0 = \frac{35}{2} + \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{35}{2} + \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} = 0$ 。

$\frac{35}{2} + \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} = 0$

解题步骤 2

求解 $13 \sqrt[30]{e^{29 t}}$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $\frac{35}{2}$ 。

$\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} = - \frac{35}{2}$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $2 e^{t}$ 。

$\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} (2 e^{t}) = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

化简 $\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} (2 e^{t})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

从 $2 e^{t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 (e^{t})} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$2 \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{e^{t}} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3.1.1.3

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{e^{t}} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

重写表达式。

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $- \frac{35}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = \frac{- 35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3.2.1.2

从 $2 e^{t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = \frac{- 35}{2} (2 (e^{t}))$

解题步骤 2.3.2.1.3

约去公因数。

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = \frac{- 35}{2} (2 e^{t})$

解题步骤 2.3.2.1.4

重写表达式。

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = - 35 e^{t}$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $30$ 次幂。

${(13 \sqrt[30]{e^{29 t}})}^{30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[30]{e^{29 t}}$ 重写成 $e^{\frac{29 t}{30}}$ 。

${(13 e^{\frac{29 t}{30}})}^{30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${(13 e^{\frac{29 t}{30}})}^{30}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $13 e^{\frac{29 t}{30}}$ 运用乘积法则。

$13^{30} {(e^{\frac{29 t}{30}})}^{30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

解题步骤 4.2.1.2

将 ${(e^{\frac{29 t}{30}})}^{30}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$13^{30} e^{\frac{29 t}{30} \cdot 30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

解题步骤 4.2.1.2.2

约去 $30$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.2.2.1

约去公因数。

$13^{30} e^{\frac{29 t}{30} \cdot 30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

解题步骤 4.2.1.2.2.2

重写表达式。

$13^{30} e^{29 t} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简 ${(- 35 e^{t})}^{30}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

对 $- 35 e^{t}$ 运用乘积法则。

$13^{30} e^{29 t} = {(- 35)}^{30} {(e^{t})}^{30}$

解题步骤 4.3.1.2

将 ${(e^{t})}^{30}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$13^{30} e^{29 t} = {(- 35)}^{30} e^{t \cdot 30}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $30$ 移到 $t$ 的左侧。

$13^{30} e^{29 t} = {(- 35)}^{30} e^{30 t}$

解题步骤 5

求解 $t$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 ${(- 35)}^{30} e^{30 t}$ 。

$13^{30} e^{29 t} - {(- 35)}^{30} e^{30 t} = 0$

解题步骤 5.2

将 $e^{29 t}$ 重写为乘方形式。

$13^{30} {(e^{t})}^{29} - {(- 35)}^{30} e^{30 t} = 0$

解题步骤 5.3

将 $e^{30 t}$ 重写为乘方形式。

$13^{30} {(e^{t})}^{29} - {(- 35)}^{30} {(e^{t})}^{30} = 0$

解题步骤 5.4

代入 $u$ 替换 $e^{t}$ 。

$13^{30} u^{29} - {(- 35)}^{30} u^{30} = 0$

解题步骤 5.5

将 $13^{30} u^{29}$ 和 $- {(- 35)}^{30} u^{30}$ 重新排序。

$- {(- 35)}^{30} u^{30} + 13^{30} u^{29} = 0$

解题步骤 5.6

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $- {(- 35)}^{30} u^{30} + 13^{30} u^{29}$ 中分解出因数 $- u^{29}$ 。

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解题步骤 5.6.1.1

从 $- {(- 35)}^{30} u^{30}$ 中分解出因数 $- u^{29}$ 。

$- u^{29} ({(- 35)}^{30} u) + 13^{30} u^{29} = 0$

解题步骤 5.6.1.2

从 $13^{30} u^{29}$ 中分解出因数 $- u^{29}$ 。

$- u^{29} ({(- 35)}^{30} u) - u^{29} (- 13^{30}) = 0$

解题步骤 5.6.1.3

从 $- u^{29} ({(- 35)}^{30} u) - u^{29} (- 13^{30})$ 中分解出因数 $- u^{29}$ 。

$- u^{29} ({(- 35)}^{30} u - 13^{30}) = 0$

解题步骤 5.6.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u^{29} = 0$

${(- 35)}^{30} u - 13^{30} = 0$

解题步骤 5.6.3

将 $u^{29}$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.6.3.1

将 $u^{29}$ 设为等于 $0$ 。

$u^{29} = 0$

解题步骤 5.6.3.2

求解 $u$ 的 $u^{29} = 0$ 。

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解题步骤 5.6.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[29]{0}$

解题步骤 5.6.3.2.2

化简 $\sqrt[29]{0}$ 。

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解题步骤 5.6.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{29}$ 。

$u = \sqrt[29]{0^{29}}$

解题步骤 5.6.3.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$u = 0$

解题步骤 5.6.4

将 ${(- 35)}^{30} u - 13^{30}$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.6.4.1

将 ${(- 35)}^{30} u - 13^{30}$ 设为等于 $0$ 。

${(- 35)}^{30} u - 13^{30} = 0$

解题步骤 5.6.4.2

求解 $u$ 的 ${(- 35)}^{30} u - 13^{30} = 0$ 。

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解题步骤 5.6.4.2.1

在等式两边都加上 $13^{30}$ 。

${(- 35)}^{30} u = 13^{30}$

解题步骤 5.6.4.2.2

将 ${(- 35)}^{30} u = 13^{30}$ 中的每一项除以 ${(- 35)}^{30}$ 并化简。

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解题步骤 5.6.4.2.2.1

将 ${(- 35)}^{30} u = 13^{30}$ 中的每一项都除以 ${(- 35)}^{30}$ 。

$\frac{{(- 35)}^{30} u}{{(- 35)}^{30}} = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

解题步骤 5.6.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.4.2.2.2.1

约去 ${(- 35)}^{30}$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{{(- 35)}^{30} u}{{(- 35)}^{30}} = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

解题步骤 5.6.4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

解题步骤 5.6.5

最终解为使 $- u^{29} ({(- 35)}^{30} u - 13^{30}) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

解题步骤 5.7

代入 $0$ 替换 $u = e^{t}$ 中的 $u$ 。

$0 = e^{t}$

解题步骤 5.8

求解 $0 = e^{t}$ 。

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解题步骤 5.8.1

将方程重写为 $e^{t} = 0$ 。

$e^{t} = 0$

解题步骤 5.8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{t}) = \ln (0)$

解题步骤 5.8.3

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.8.4

$e^{t} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.9

代入 $\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$ 替换 $u = e^{t}$ 中的 $u$ 。

$\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}} = e^{t}$

解题步骤 5.10

求解 $\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}} = e^{t}$ 。

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解题步骤 5.10.1

将方程重写为 $e^{t} = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$ 。

$e^{t} = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

解题步骤 5.10.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{t}) = \ln (\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}})$

解题步骤 5.10.3

展开左边。

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解题步骤 5.10.3.1

通过将 $t$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{t})$ 。

$t \ln (e) = \ln (\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}})$

解题步骤 5.10.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$t \cdot 1 = \ln (\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}})$

解题步骤 5.10.3.3

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$t = \ln (\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}})$

解题步骤 6

排除不能使 $0 = \frac{35}{2} + \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}}$ 成立的解。

$无解$

微积分学 示例

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